Eine Koalgebra für eine Komonade auf einer Kategorie ist ein Paar bestehend aus einem Objekt von und einem Morphismus , so dass und . Ein Homomorphismus von Koalgebren ist ein Morphismus in , der erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie .
Es gibt einen kanonischen Funktor , der auf Objekten ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor .
Komonade zu einem adjungierten FunktorpaarBearbeiten
Es seien Kategorien und , Funktoren, so dass rechtsadjungiert zu ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien bzw. . Dann ist eine Komonade auf .
In der Kategorie Set sei der Endofunktor derjenige der Bildung von -indizierten Folgen, d. h. für jede Menge ist , und für Mengen und sowie Abbildungen ist gegeben durch .
Die natürlichen Transformationen und seien durch die Familien von Abbildungen und ,
für beliebige Mengen gegeben.
Das Tripel ist nun eine Komonade in Set.
Die Koalgebren für sind die Abbildungen , die und erfüllen. Mit , ist , und man kann die Koalgebren mit Paaren mit einer beliebigen Abbildung identifizieren.
Ist eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf bijektiv den Monoidstrukturen auf . Die Multiplikation auf ist . Für ein Monoid kann die Strukturabbildung einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz mit anderen Abbildungen identifiziert werden:
einer Abbildung , die eine Algebra für die Monade ist
einem Monoidhomomorphismus , d. h. einer Operation von auf .