In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition

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Sei   eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe   heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements   liegen keine weiteren Elemente von  .

Eine Darstellung   einer (abstrakten) Gruppe   heißt diskret, wenn das Bild   eine diskrete Untergruppe von   ist.

Beispiele

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  •   ist eine diskrete Untergruppe
  •   ist eine diskrete Untergruppe
  •   ist keine diskrete Untergruppe
  •   ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften

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Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Sei   eine lokalkompakte  -kompakte topologische Gruppe,   die Projektion und   das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe   erzeugt das Haarmaß   ein wohldefiniertes Maß   auf   wie folgt: für alle Mengen   mit   definieren wir  .

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe  , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum   endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn   kompakt ist.

Ein Gitter   heißt reduzibel, wenn sich   als direktes Produkt   zerlegen lässt, so dass es Gitter   gibt, für die   eine Untergruppe von endlichem Index in   ist. Insbesondere ist   dann kein irreduzibles Gitter.

Literatur

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