Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel

Die Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel besteht aus den Punkten mit rationalen Koordinaten, für die gilt. Die Gruppe besteht aus der Vereinigung beider Hyperbeläste, jeweils für und .

Gruppenoperation

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Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt  . Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist  .

Geometrisch ist dies die Hyperbelwinkeladdition: wenn   und   ist, sowie   und  , dann ist deren Summe   der rationale Punkt auf der Einheitshyperbel mit dem Winkel   im Sinne der gewöhnlichen Addition von Hyperbelwinkeln. Es gilt nämlich   und  . Man beachte, dass die "Winkel" jeweils nur als Parameter zu betrachten sind und nicht den tatsächlichen Winkeln der Punkte auf der Hyperbel entsprechen.

Gruppenstruktur

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Die Gruppe   ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von  :

 

wobei die Untergruppe   aus zwei Elementen besteht und die Untergruppen   die unendlichen zyklischen Gruppen sind, die jeweils von dem Punkt der Form   erzeugt werden.

Literatur

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