Geschlecht (algebraische Kurve)

In der Mathematik ist das Geschlecht eine Invariante algebraischer Kurven.

Es ist definiert als

$g:=\dim H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$,

wobei $X$ die algebraische Kurve, ${\mathcal {O}}_{X}$ die Garbe ihrer holomorphen Funktionen und $H^{1}$ die erste Garbenkohomologie ist. Man kann zeigen, dass diese für eine projektive Kurve stets endlich-dimensional ist.

Für eine in der projektiven Ebene durch ein Polynom vom Grad $d$ gegebene Kurve ist

$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$

wobei $s$ die (mit Vielfachheiten gezählte) Anzahl der Singularitäten ist.

Für eine singularitätenfreie algebraische Kurve stimmt das Geschlecht mit dem topologischen Geschlecht der entsprechenden Riemannschen Fläche überein.

Algebraische Kurven vom Geschlecht $0$ sind rationale Kurven. Algebraische Kurven vom Geschlecht $1$ sind Elliptische Kurven.

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Geschlechts für algebraische Flächen, darunter das in Analogie zum Geschlecht Riemannscher Flächen definierte geometrische Geschlecht $p_{g}$ und das in Analogie zum Geschlecht algebraischer Kurven definierte arithmetische Geschlecht $p_{a}$. Die Differenz $p_{g}-p_{a}$ ist eine topologische Invariante und verschwindet für singularitätenfreie Flächen.

Siehe auch

• Satz von Riemann-Roch

Literatur

• O. Forster: Riemannsche Flächen. Springer, 1977