Fußpunktkreis

Der Fußpunktkreis ist ein spezieller Kreis in der Dreiecksgeometrie, der durch ein Dreieck und einen Punkt in der Ebene definiert ist.

$\triangle ABC$ mit Seiten $a,b,c$ und Punkt $P$
Fußpunkte von $P$: $P_{a},P_{b},P_{c}$
Umkreismittelpunkt: $O$
Die grünen Strecken werden in der Radiusformel verwandt

Dreieck $ABC$ mit isogonal konjugierten Punkten $P$ und $Q$
6 Fußpunkte auf gemeinsamem Fußpunktkreis: $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{b},Q_{c}$
$M$ als Mittelpunkt des Fußpunktkreises und der Strecke $PQ$
Winkelhalbierende: $w_{a},w_{b},w_{c}$

4 Punkte $A,B,C,D$ und 4 Fußpunktkreise mit gemeinsamen Schnittpunkt $S$

Definition

Zu einem Dreieck $ABC$ und einem Punkt $P$ erhält man auf den (verlängerten) Dreiecksseiten drei Fußpunkte $P_{a},P_{b},P_{c}$ des Punktes $P$. Der durch diese drei Fußpunkte definierte Kreis wird als Fußpunktkreis bezeichnet, er ist damit der Umkreis des Fußpunktdreiecks $P_{a}P_{b}P_{c}$.

Eigenschaften

Für den Radius $r$ des Fußpunktkreises eines Dreiecks $ABC$ mit Punkt $P$ gilt die folgende Formel, in der Radius des Umkreises des Dreiecks mit $R$ und dessen Mittelpunkt mit $O$ bezeichnet sind:

$r={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}$

Der Nenner in der obigen Formel wird 0, wenn der Punkt $P$ auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$ liegt. Dies lässt sich als ein zu einer Geraden entarteter Kreis mit unendlichem Radius deuten. Diese gemeinsame Gerade, auf der die drei Fußpunkte $P_{a},P_{b},P_{c}$ in diesen Fall liegen, ist die Simson-Gerade. Liegt der Punkt $P$ auf dem Mittelpunkt des Inkreises, so ist der Fußpunktkreis mit dem Inkreis identisch. Liegt er auf dem Höhenschnittpunkt, so entspricht er dem Feuerbachkreis.

Wenn der Punkt $P$ nicht auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$ liegt, dann besitzt der zu ihm isogonal konjugierte Punkt $Q$ denselben Fußpunktkreis. Die sechs Fußpunkte $P_{a},P_{b},P_{c}$ und $Q_{a},Q_{b},Q_{c}$ liegen damit auf einem gemeinsamen Kreis, dessen Mittelpunkt stimmt mit dem Mittelpunkt der Strecke $PQ$ überein.

Der Satz von Griffiths besagt, dass alle Punkte $P$, die auf einer gemeinsamen Geraden durch den Mittelpunkt $O$ des Umkreises von Dreieck $ABC$ liegen, Fußpunktkreise besitzen, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.

Zu vier Punkten in der Ebene, von denen keine drei auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kann man vier zugehörige Fußpunktkreise bestimmen, indem man mit je drei Punkten ein Dreieck $ABC$ bildet und der vierte Punkt die Rolle des Punktes $P$ einnimmt. Diese vier Fußpunktkreise besitzen einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Weblinks

Commons: Pedal circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Pedal Circle of Isogonal Conjugates - interactive illustration in GeoGebra
• pedal triangle and pedal circle - interactive illustration