Es seien
C
;
D
{\displaystyle {\mathcal {C}};{\mathcal {D}}}
Kategorien ,
C
o
p
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
duale Kategorie und schließlich
F
:
C
op
×
C
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
Funktor .
Ein Ende von
F
{\displaystyle F}
Paar
(
E
;
π
)
{\displaystyle (E;\pi )}
E
∈
Ob
(
D
)
{\displaystyle E\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}
Ob
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}
Familie von Pfeilen
π
X
:
E
→
F
(
X
,
X
)
{\displaystyle \pi _{X}\colon E\to F(X,X)}
Projektionen genannt, derart, dass für alle Objekte
X
,
Y
∈
Ob
(
C
)
{\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}
Morphismen
h
∈
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle h\in {\mathcal {C}}(X,Y)}
E
→
π
X
F
(
X
,
X
)
π
Y
↓
↓
F
(
X
,
h
)
F
(
Y
,
Y
)
→
F
(
h
,
Y
)
F
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!F(X,X)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle F(X,h)\\F(Y,Y)&{\xrightarrow[{F(h,Y)}]{}}&F(X,Y)\end{array}}}
kommutiert. (Kurz:
π
{\displaystyle \pi }
dinatürliche Transformation
Δ
E
→
F
{\displaystyle \Delta E\to F}
Ein Ende ist zudem universell , das heißt für jedes alternative
E
′
{\displaystyle E'}
π
X
′
:
E
′
→
F
(
X
,
X
)
{\displaystyle \pi '_{X}\colon E'\to F(X,X)}
k
:
E
′
→
E
{\displaystyle k\colon E'\to E}
π
X
∘
k
=
π
X
′
{\displaystyle \pi _{X}\circ k=\pi '_{X}}
X
∈
Ob
(
C
)
{\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}
Eine gebräuchliche Schreibweise für ein Ende von
F
:
C
op
×
C
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
E
≅
∫
X
∈
C
F
(
X
,
X
)
{\displaystyle E\cong \int _{X\in {\mathcal {C}}}F(X,X)}
Für lokal kleine Kategorien
C
,
D
{\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}
F
,
G
:
C
→
D
{\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
natürlichen Transformationen von
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
T
:
C
op
×
C
→
S
e
t
{\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }
T
(
X
,
Y
)
=
D
(
F
X
,
G
Y
)
{\displaystyle T(X,Y)={\mathcal {D}}(FX,GY)}
D
(
−
,
−
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(-,-)}
Hom-Funktor von
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
Obiges Diagramm ist hier
E
→
π
X
D
(
F
X
,
G
X
)
π
Y
↓
↓
D
(
F
X
,
G
h
)
D
(
F
Y
,
G
Y
)
→
D
(
F
h
,
G
Y
)
D
(
F
X
,
G
Y
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!{\mathcal {D}}(FX,GX)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle {\mathcal {D}}(FX,Gh)\\{\mathcal {D}}(FY,GY)&{\xrightarrow[{{\mathcal {D}}(Fh,GY)}]{}}&{\mathcal {D}}(FX,GY).\end{array}}}
Die Projektionen des Endes ordnen jeder natürlichen Transformation
ψ
∈
E
{\displaystyle \psi \in E}
ψ
X
=
π
X
(
ψ
)
∈
D
(
F
X
,
G
X
)
{\displaystyle \psi _{X}=\pi _{X}(\psi )\in {\mathcal {D}}(FX,GX)}
E
{\displaystyle E}
ψ
X
{\displaystyle \psi _{X}}
ψ
Y
{\displaystyle \psi _{Y}}
G
h
∘
ψ
X
=
ψ
Y
∘
F
h
{\displaystyle Gh\circ \psi _{X}=\psi _{Y}\circ Fh}
gilt. Die Universalität stellt sicher, dass
E
{\displaystyle E}
Dieses Beispiel kann auch als eine Definition von natürlichen Transformationen interpretiert werden. Die Definition ist
in dieser Form leicht auf angereicherte Kategorien und Funktoren verallgemeinerbar.
G. M. Kelly: Basic Concepts of Enriched Category Theory . In: Lecture Notes in Mathematics 64 . Cambridge University Press, 1982 (mta.ca [abgerufen am 8. März 2014]).
end nLab . (englisch) 
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!F(X,X)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle F(X,h)\\F(Y,Y)&{\xrightarrow[{F(h,Y)}]{}}&F(X,Y)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f411904dea177656877924c446184d4658ce4b3)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\quad E&\xrightarrow {\quad \pi _{X}\quad } &\!{\mathcal {D}}(FX,GX)\\\scriptstyle \pi _{Y}{\Big \downarrow }&&\quad {\Big \downarrow }\scriptstyle {\mathcal {D}}(FX,Gh)\\{\mathcal {D}}(FY,GY)&{\xrightarrow[{{\mathcal {D}}(Fh,GY)}]{}}&{\mathcal {D}}(FX,GY).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f22574b4a5222f6c801554c9c4c167d33fe387)
