Diskussion:Unitäre Abbildung

Notation

Ich finde, hier gehört noch eine Erklärung zu $U\overline{U}^{\rm T}=\overline{U}^{\rm T}U=I$ hin: overline bedeutet komplex konjugiert, T transponiert, oder? (nicht signierter Beitrag von 212.201.76.28 (Diskussion) 16:24, 6. Jul. 2006‎ (CEST))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 06:19, 17. Apr. 2014 (CEST)

Normerhaltung

Irgendwie widersprechen sich die zwei Absätze doch. Der eine sagt, dass Skalarprodukterhaltung aus Normerhaltung und Linearität von U folgt, und der zweite sagt, dass das im allgemeinen nicht, sondern nur für endlichdimensionale Räume, gilt. Man könnte übrigens Unitarität als Erhaltung des Skalarproduktes einführen und daraus Isometrie und Linearität folgern. Kann man nicht sogar aus der Normerhaltung und der Linearität die Umkehrbarkeit von U ableiten? DrLemming 18:21, 8. Aug 2006 (CEST)

Normerhaltung <=> Erhaltung des Skalarprodukzs. Und beides ist im Falle unendlichdimensionaler Räume nur notwendig, aber nicht hinreichen für Unitarität. --Pjacobi 14:48, 27. Aug 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 06:19, 17. Apr. 2014 (CEST)

Transponieren?

Wie transponiert man denn im Unendlichdimensionalen? Wie transponiert man denn überhaupt lineare Abbildungen, um diesen Artikel von Unitäre Matrix zu unterscheiden? -- R. Möws 15:09, 27. Aug 2006 (CEST)

en:Transpose#Transpose of linear maps. --Pjacobi 16:40, 27. Aug 2006 (CEST)

Das klingt nach dem, was ich als die adjungierte Abbildung kenne. Mir ist nämlich der Begriff transponierte Abbildung bis jetzt noch nicht begegnet. Danke, Benutzer:Sdo für die Einarbeitung des adjungierten Operators. --R. Möws 02:47, 28. Aug 2006 (CEST)

Adj. hat zusätzlich noch die kompl. Konj., oder? --Pjacobi 08:38, 28. Aug 2006 (CEST)

Ja. Und im rellen, endlichdimensionalen Fall entfällt die komplexe Konjugation, so dass sich die transponierte urpsrüngliche Matrix als darstellende Matrix für die adjungierte Abbildung ergibt – daher wahrscheinlich die Bezeichnung „transponierte Abbildung“ (die ich aber auch noch nie gehört habe). -- Sdo 10:04, 28. Aug 2006 (CEST)

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Beispiel

Ich bin nicht der Meinung, dass diese Zahlenwüste irgendetwas erklärt.--Gunther 13:05, 1. Sep 2006 (CEST)

Demstimme ich zu. Wenn wir als Beispiel für eine unitäre Abbildung sowieso nur die durch eine unitäre Martix definierte Abbildung nehmen, dann spricht ja auch nichts dagegen, eine einfachere Matrix zu nehmen, zum Beispiel eine von den Pauli-Matrizen. Ein weiteres prominentes Beispiel für unitäre Abbildungen ist doch die Fourier-Transformation, wenn man sie im richtigen Raum definiert. Oder wir lehnen uns soweit aus dem Fenster, ohne Beweis zu behaupten, dass $e^{itH}$ für einen selbstadjungierten Operator H und alle $t\in R$ eine Unitäre Abbildung definiert. Dann müssten wir aber auch auf den Spektralkalkül von s.a. Operatoren eingehen. -- R. Möws 13:19, 1. Sep 2006 (CEST)

Beweise brauchen wir keine, nur Belege.--Gunther 13:32, 1. Sep 2006 (CEST)

Vergesst die Omas unter den Lesern nicht! Wie wäre es denn einfach mit einer Drehung um 90° im R²? Die lässt sich durch die leichtverständliche Matrix ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ darstellen, ist deutlich anschaulicher als Fourier-Transformationen und erfordert keine besonderen Belege, Beweise oder Klimmzüge bei der Definition der zugehörigen Räume. Pauli-Matrizen sind von mir aus auch ok – diese Matrizen stellen ja auch nur Drehungen und Spiegelungen in der komlexen Ebene dar, auch wenn das nicht im entsprechenden Artikel steht. (nicht signierter Beitrag von Sdo (Diskussion | Beiträge) 02:34, 2. Sep 2006)

In Anbetracht dessen, dass komplexe Zahlen benötigt werden, muss die Oma ja ohnehin ziemlich motiviert sein. Jedenfalls gefällt mir Dein Vorschlag, evtl. ergänzt um ${\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} \end{pmatrix}}$, deutlich besser als das derzeitige Beispiel.­--Gunther 11:16, 2. Sep 2006 (CEST)

Habe letzteres mal eingebaut. Das sollte jetzt auf jeden Fall verständlicher sein als vorher. -- Sdo 13:47, 3. Sep 2006 (CEST)

Ich habe das korrigiert und das andere Beispiel dazugenommen. Die Anschauung ist etwas komplizierter, Drehungen im vierdimensionalen Raum lassen sich nicht mehr so leicht beschreiben wie im dreidimensionalen. Würde man sich auf Abbildungen $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ beschränken, gäbe es nur die Drehungen $z\mapsto \lambda z$ mit $|\lambda |=1$, da werden mMn die Möglichkeiten nicht ausreichend klar.--Gunther 14:13, 3. Sep 2006 (CEST)

Wunderbar. -- Sdo 14:25, 3. Sep 2006 (CEST)

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Definition fehlt

Es fehlt eine genaue Definition für den allgemeinen Fall (Koordinatenfrei, auch für unendliche Dimension). --Digamma 01:04, 11. Nov. 2007 (CET)

Was fehlt dir denn im Abschnitt "unendlichdimensionale Vektorräume"?--R. Möws 16:40, 11. Nov. 2007 (CET)

Stimmt, das habe ich überlesen. Nach allem, was weiter oben über Normerhaltung und Isometrie etc. steht. Es fehlt aber der Bezug zu oberen saloppen Definition. Außerdem sollte es doch möglich sein, unitäre Abbildungen ohne Rückgriff auf adjungierte Operatoren zu definieren.

Gilt denn, dass $F:V\to W$ genau dann unitär ist, wenn für alle $u,v\in V$ gilt:

$\langle F(u),F(v)\rangle _{W}=\langle u,v\rangle _{V}$ ?

--Digamma 17:43, 11. Nov. 2007 (CET)

Nachtrag: Und wenn man genau ist, dann steht da für den endlichdimensionalen Fall keine Definition, sondern nur eine Reihe von Beschreibungen, von denen nicht klar wird, welche als Definition geeignet sind. --Digamma 17:43, 11. Nov. 2007 (CET)

Die Invarianz im Skalarprodukt definiert dir eine isometrische Abbildung. Wenn die Abbildung überall definiert ist und stetig, dann folgt daraus natürlich schon die Unitarität. Zu dem Zusammenhang isometrische und unitäre Abb. in unendlichdim. Räumen recherchiere ich mal noch, was man da Schönes schreiben kann. Im Endlichdimensionalen ist m.E. die Eigenschaft $\phi ^{*}=\phi ^{-1}$ auch dafür geeignet, um Unitarität zu definieren. Man muss diese Eigenschaft nicht über die darstellenden Matritzen definieren, aber man kann, weil diese ja ähnlich sind.

In der Einleitung stehen viele Dinge, aber darunter ist eine in meinen Augen saubere Definition. Wenn es dir lieber ist, kannst du die Äquivalenzen ja hinter die richtige Definition schieben, was der etwas überladenen Einleitung durchaus zu Gute kommen würde. --R. Möws 18:24, 11. Nov. 2007 (CET)

In der Einleitung wird zusätzlich gefordert, dass die Abbildung bijektiv ist. Im Endlichdimensionalen ist das bei Selbstabbildungen automatisch. Im Unendlichdimensionalen sicher nicht. Wird das zusätzlich gefordert? In meiner Formulierung mit dem Skalarprodukt steckt das nicht drin, in der im Text mit der inversen Abbildung aber implizit schon.

Wird der Begriff "unitär" überhaupt erklärt für Abbildungen zwischen verschiedenen Vektorräumen? Der Begriff "orthogonale Abbildung" ist meines Wissens nur für Selbstabbildungen definiert. Sonst spricht man von linearen Isometrien.

So wie Du schreibst, ist unitär im Unendlichdimensionalen tatsächlich mehr als isometrisch, aber was noch dazukommt, das verstehe ich nicht. Die Stetigkeit folgt, wenn ich das richtig sehe, trivialerweise aus "isometrisch".

In der Einleitung wird zumindest der Eindruck erweckt, dass im Unendlichdimensionalen Normerhaltung nicht äquivalent zur Invarianz des Skalarprodukts sei. Das ist doch falsch, oder? Invarianz des Skalarprodukts folgt aus der der Norm mittels Polarisation: $\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\,\operatorname {Re} \langle x,y\rangle$ und $\|x+iy\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2i\,\operatorname {Im} \langle x,y\rangle$--Digamma 20:25, 11. Nov. 2007 (CET)

Im Allgemeinen gibt es isometrische Abbildungen, die nicht bijektiv sind. Das liegt daran, dass es im unendlichdimensionalen injektive Abbildungen von einem Raum in sich selbst gibt, die nicht surjektiv sind, z.B der Rechtsshift im $\ell ^{2}$. Die sind dann nicht invertierbar und deswegen erst recht nicht unitär. Klärt das einiges? Oder macht es das noch schlimmer?

Ich hatte oben Unsinn geschrieben, den ich jetzt durchgestrichen habe.--R. Möws 01:51, 13. Nov. 2007 (CET)

Ich denke, das klärt einiges. Wenn ich das richtig verstehe, dann ist eine Abbildung also genau dann unitär, wenn sie das Skalarprodukt erhält und surjektive (und damit auch bijektiv) ist. Stimmt das so?

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 06:19, 17. Apr. 2014 (CEST)

Bijektiv?

Ich kenne die Definition einer unitären Abbildung nur so, dass die Abbildung bijektiv ist (bzw. surjektiv, weil Injektivität ja automatisch folgt). Für normerhaltende Abbildungen, die nicht surjektiv sind, gibt z.B. den Begriff "isometrische Einbettung". Ich wäre deshalb weiterhin dafür, nur bijektive isometrische Abbildungen unitär zu nennen. --Cosine 12:13, 11. Mai 2009 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 06:19, 17. Apr. 2014 (CEST)

Fehler in Differentialgleichung

Müsste die DGL im Abschnitt "Darstellung mit selbstadjungierten Operatoren" statt dU/ds=-i U nicht dU/ds=-i A(s) U heißen? (nicht signierter Beitrag von 95.117.177.42 (Diskussion | Beiträge) 20:08, 5. Jun. 2009 (CEST))

Würde ich auch sagen. Äußerst seltsam, dass das so lange hier drin stand.--Websterdotcom (Diskussion) 21:21, 4. Nov. 2013 (CET)

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unitäre Vektorräume?

• Im Artikel: "unitäre Abbildung U: V -> W von einem unitären Vektorraum V auf einen anderen unitären Vektorraum W"
• "Unitärer Vektorraum" leitet weiter nach Prähilbertraum und dort heißt es: "Man unterscheidet dabei zwischen euklidischen (Vektor-)Räumen im reellen und unitären (Vektor-)Räumen im komplexen Fall."

Ich sehe nicht, warum V und W unitär sein müssen und nicht beliebige Prähilberträume (~> es existiert ein Skalarprodukt) sein können, und nach en.wp sollte es auch nicht notwendig sein, daß V und W unitär sind, oder doch? -93.196.239.104 22:20, 6. Nov. 2013 (CET)

Es gibt Autoren, die alle (also auch reelle) Prähilbertäume als unitäre Räume bezeichnen. So ist das vermutlich in diesem Artikel gemeint. Umgekehrt gibt es Autoren, die nur im komplexen Fall von unitären Abbildungen sprechen und im reellen Fall von orthogonalen Abbildungen. --Digamma (Diskussion) 21:12, 7. Nov. 2013 (CET)

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Darstellung mit selbstadjungierten Operatoren

Die Aussage

Es sei ${\hat {A}}$ ein selbstadjungierter Operator, welcher im Intervall $s\in [s_{0},s]$ nicht vom Parameter $s$ abhänge.

ist entweder ziemlich tiefgehend oder kompletter Unsinn. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:57, 14. Apr. 2014 (CEST)

Es geht hier wohl um eine Operatorhalbgruppe ${\hat {A}}_{s}$ mit dem Parameter $s$. Der Abschnitt wirkt auf mich aber trotzdem komplett unverständlich und ist unbelegt, so dass ich die Intension hinter dem Abschnitt nicht nachvollziehen kann. Falls kein Widerspruch kommt, lösche ich den ganzen Abschnitt.--Christian1985 (Disk) 13:38, 14. Apr. 2014 (CEST)

(BK) Das ist Physikerdenke. Der Hamiltonoperator könnte zeitabhängig sein (ohne dass man die Abhängigkeit hinschreibt). Leider ist der Artikel insgesamt schlecht. Den Unsinn, dass sich bei unendlichdimensionalen Räumen nicht von Matrizen sprechen lasse, habe ich schonmal entfernt. Ebenso, dass die Aussage da der Satz von Stone wäre. Der besagt vielmehr die Umkehrung, dass für jede stark stetige einparametrige Gruppe von unitären Operatoren ein selbstadjungierter Erzeuger existiert. --Chricho ¹ ² ³ 13:39, 14. Apr. 2014 (CEST)

@Christian Also es wurde behauptet, den Satz von Stone darzustellen, es wurde aber nur seine mehr oder minder triviale Umkehrung dargestellt. Das, was danach kommt, ist mathematisch unhaltbar, weil ohne weitere Voraussetzungen die Integrale und Reihen dort sicher nicht konvergieren müssen. --Chricho ¹ ² ³ 13:45, 14. Apr. 2014 (CEST)

Man könnte auch hier (wie schon bei orthogonale Matrix und unitäre Matrix) im Wesentlichen den Inhalt von orthogonale Abbildung übernehmen. Ich weiß nur nicht, ob das nicht dann zu sehr gedoppelt wäre. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:37, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ich bin mir nicht sicher, ob es hier genauso ana analog wie bei orthogonale Matrix und unitäre Matrix geht. Ich dachte, unitäre Abbildungen wären immer surjektiv, aber das habe ich nicht überprüft. Sicher gehören hier aber Informationen zur Isometrie, Operatornorm, Normalität und zum Spektralsatz rein.--Christian1985 (Disk) 14:42, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ja, unitäre Abbildungen sind in allen Darstellungen, die ich kenne, surjektiv. Sonst spricht man von Isometrien. --Chricho ¹ ² ³ 14:44, 14. Apr. 2014 (CEST)

Literatur, in der a priori keine Surjektivität gefordert wird: [1] [2] [3] [4] [5]. Tatsächlich braucht man für die Eigenschaften aus Orthogonale Abbildung#Eigenschaften auch gar keine Surjektivität. Ähnliches gilt für V=W. Von mir aus kann man aber auch gerne Surjektivität annehmen, sonderlich viel ändert sich dadurch nicht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:24, 14. Apr. 2014 (CEST)

Hm, sowas. Also für $T^{-1}=T^{*}$ braucht man natürlich Surjektivität. --Chricho ¹ ² ³ 15:34, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ja dann würde ich vorschlagen, diesen Artikel hier doch genauso aufzuziehen wie Orthogonale Abbildung. Sicherlich entstehen dadurch Dopplungen. Aber das halte ich für sinnvoller, als diesen Artikel nach Orthogonale Abbildung weiterzuleiten. --Christian1985 (Disk) 15:40, 14. Apr. 2014 (CEST)

@Chricho: wir hatten die Diskussion surjektiv/nicht surjektiv schon bei Diskussion:Orthogonalität mit dem gleichen Ergebnis. Deswegen wird in orthogonale Abbildung a priori auch keine Surjektivität gefordert. Allerdings ist die Nomenklatur nicht einheitlich, weder bei orthogonal noch bei unitär, und ich bin selbst etwas unsicher, welcher Variante man den Vorzug geben sollte. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:50, 14. Apr. 2014 (CEST)

Nach weiterer Literaturrecherche denke ich, wir können

• eine unitäre Abbildung als eine das Skalarprodukt erhaltende Abbildung zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen und
• einen unitären Operator als bijektive unitäre Abbildung zwischen zwei komplexen Hilberträumen

definieren. Die erste Variante wird mehr in der linearen Algebra verwendet, die zweite mehr in der Funktionalanalysis. In dieser Art habe ich nun auch den Artikel Orthogonale Abbildung strukturiert. Man kann auch überlegen, den Operatoren jeweils eigene Artikel zu geben, vgl. lineare Abbildung und linearer Operator (wobei letzterer Begriff wohl keine Einschränkung darstellt). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:49, 15. Apr. 2014 (CEST)

Ok, ich habe den Artikel nun entsprechend überarbeitet. Zu unitären Operatoren würde sich ggf. ein eigener Artikel anbieten, eine Auslagerung ist nun aber problemlos möglich. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:16, 16. Apr. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 08:25, 5. Mai 2014 (CEST)

Invertierbarkeit

Nachdem meine vorgeschlagene Änderung rückgängig gemacht worden ist, möchte ich noch einmal die Thematik der Bijektivität einer unitären Abbildung aufgreifen. In sämtlichen Skripten von deutschsprachigen Unis, die ich jetzt auf die Schnelle gefunden habe, wird Invertierbarkeit gefordert (u.a. TU München, TU Darmstadt, Uni München, Uni Wien, ETH Zürich). Ich habe auch die fünf Links kurz überflogen, die der User Quartl weiter oben als Quelle angegeben hat. Bei Kersten wird explizit erwähnt, dass die Bezeichnungen nicht einheitlich sind; bei Fischer steht, dass eine unitäre Abbildung ein Isomorphismus ist; in Mathematik für Physiker I von Fischer & Kaul (7. Auflage) heißt es auf S.364, wortwörtlich: "Ist T zusätzlich surjektiv, so heißt T unitär" (für T als Isometrie), der Rechtsshift ist hier explizit als Gegenbeispiel angegeben. In einigen Lehrbüchern wird auch nur der endlichdimensionale Fall behandelt, da ist dann klar, dass für Invertierbarkeit nur Injektivität notwendig ist. Meiner Auffassung nach ist eine unitäre Abbildung bijektiv und der Artikel sollte geändert werden, gerade für Studenten, die das erste Mal damit zu tun haben, ist es sehr verwirrend hier etwas anderes zu lesen als in den Skripten. Mein Kompromissvorschlag wäre gewesen, den Rechtsshift als Beispiel zu entfernen und durch den bilateralen Shift zu ersetzen und einen Hinweis im zweiten Satz einzufügen, dass in manchen Quellen Invertierbarkeit verlangt wird, ist jedoch leider abgelehnt worden. {{--Defmail (Diskussion) 20:44, 7. Nov. 2018 (CET)}}

Rückgängigmachung ist rückgängig gemacht worden, jetzt ist wieder alles fein ;) (--Defmail (Diskussion) 20:44, 7. Nov. 2018 (CET))