Diskussion:Toroidale-Poloidale Zerlegung

Koordinatensystem

So, der Löschantrag dürfte ja wohl bald angewettert sein und der Artikel kann weiter verbessert werden. Eine Anmerkung zur Sache: das Bild zeigt einen Torus, der Text spricht vor allem von Kugeln. Sphärische und torroidale Koordinaten sind doch wohl Spezialfälle, denke ich. Sollte man vielleicht erwähnen.--CWitte 12:57, 25. Okt. 2011 (CEST)

Im Bild ist tatsächlich jeweils nur ein Spezialfall eines toroidalen bzw. poloidalen Feldvektors dargestellt. Die Zerlegung macht allerdings ausschließlich in Kugelkoordinaten (r, \Phi, \Theta) Sinn.

-- N. Büchen 13:06, 25. Okt. 2011 (CEST)

Bist du sicher? Mir erscheint das eher so, dass man die Zerlegung auch in Toruskoordinaten durchführen kann. Ich rechne das gerade aus. Noch eine Sache: "es lässt sich immer ein A2 als Gradientenfeld beschreiben, da es im obigen Kreuzprodukt eine freie Koordinate entlang r gibt" ist so noch nicht verständlich. "freie Koordinate entlang r"? Was soll das sein? Und wieso findet man deshalb ein Potential für A2?--CWitte 14:07, 25. Okt. 2011 (CEST)

Ich wollte eine Umeichung von A2 x r nach A2' x r andeuten, bei der die Rotation von A2' verschwindet. (A2' = A2 + grad(e1) - rot(E2), mit (grad(e1)-rot(E2))xr=0 ). Den Existenzbeweis kriege ich im Moment aber nicht hin. -- N. Büchen 16:47, 25. Okt. 2011 (CEST)

Ich fürchte A2 ist falsch.

$\operatorname {grad} \,V\times \mathbf {e_{r}} =\operatorname {rot} \,\mathbf {F} \times \mathbf {e_{r}} =\,$

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \vartheta }}e_{\varphi }-{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}e_{\vartheta }={\begin{aligned}\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\varphi }\right)\right]\mathbf {e} _{\varphi }\,\,-{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\vartheta }\right)-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \vartheta }}\right]\mathbf {e} _{\vartheta }\,.\end{aligned}}$

Vergleicht man V und die Komponenten von F, so gibt es nur einen Übereinstimmung, wenn F_θ=F_φ.

Vielmehr muss rot(A x r) so aussehen wie in [1] dargestellt $\nabla ^{2}(S\mathbf {r} )$

--N. Büchen 19:21, 25. Okt. 2011 (CEST)

Die Zerlegung von A macht nicht nur in Kugelkoordinaten, sondern immer, wenn es ein ausgezeichnetes radiales Vektorfeld zu einer Koordinate r gibt:

$A_{r}=<A,e_{r}>e_{r}\quad A_{t}=e_{r}\times (A\times e_{r})$

also auch bei Zylinder- oder Toruskoordinaten. Die Frage bleibt, wie genau das Potential für den tangentialen Anteil aussieht und für welche der Koordinatensysteme das geht. Laut Artikel soll $A_{t}=\operatorname {rot} (\Phi r\mathbf {e_{r}} )$ sein, was unter der Bedingung $\operatorname {div} (\Phi r\mathbf {e_{r}} )=0$ auf die Mathworld-Gleichung oben führt. Die Divergenzfreiheit erscheint mir aber fragwürdig. Gibt's da keine Literatur, in der das ein bisschen ausführlicher steht?--CWitte 14:59, 26. Okt. 2011 (CEST)

Oberfläche

Im Einleitungssatz heißt es: „Die Toroidale-Poloidale Zerlegung unterteilt ein Magnetfeld, z. B. das Erdmagnetfeld, in einen Teil, der außerhalb der Oberfläche messbar ist und einen darüberhinausgehenden Teil, der nur im Inneren messbar ist, da er nur tangentiale Anteile enthält und die Feldlinien nicht die Oberfläche durchdringen.“

Welche Oberfläche ist da gemeint und wo verliefe die Projektion der Oberfläche in diesem Bild? -- Hans Koberger 09:34, 26. Okt. 2011 (CEST)

Das Bild stellt einen poloidalen und einen toroidalen Vektor dar. Die Oberfläche wäre eine Kugelschale, um alles herum. Ein poloidaler Vektor könnte aber auch die Kugelschale durchstoßen. --N. Büchen 09:51, 26. Okt. 2011 (CEST)

Die Oberfläche ist aber nur eine theoretische oder gedachte Grenze – ja? Zu den Kategorien noch eine Frage. Wäre die Kategorie:Vektoranalysis anstatt Kategorie:Analysis nicht genauer? -- Hans Koberger 11:37, 26. Okt. 2011 (CEST)

Beim Geodynamo ist die Oberfläche ziemlich konkret. Das ist der Boden auf dem wir stehen. Da ein toroidales Feld nur tangentiale Vektoren (=Feldlinien) hat, muss in jeder Kugelschale des Feldes etwas sein, dass ein Feld erzeugt. Das kann nur innerhalb von Materie geschehen. Im Detail gibt es natürlich Unterschiede. Das toroidale Feld ist innerhalb des Erdkerns am stärksten. Mantel und Schale tragen relativ wenig zum Gesamtfeld bei. -- N. Büchen 18:58, 26. Okt. 2011 (CEST)

Diese Argumentation leuchtet mir nicht ein. Das B-Feld ist divergenzfrei und hat keine Quellen, in denen etwa die Feldlinien entspringen. Beim stromdurchflossenen Leiter sind die Feldlinien auch tangential und dennoch nicht nur in Materie vorhanden. Also, ich glaube schon, dass das im Prinzip stimmt, aber ich kann die Begründung nicht nachvollziehen.--CWitte 15:36, 27. Okt. 2011 (CEST)

Das Beispiel hinkt ja auch etwas. Der stromdurchflossene Leiter durchbricht die Kugeloberfläche ja auch. Man müsste sich mal $\mu i=\square \Psi \mathbf {r} .$ für Ströme in einem beschränkten Gebiet ausrechnen.-- N. Büchen 16:51, 27. Okt. 2011 (CEST)

Nee, da verstehen wir uns jetzt gegenseitig falsch. Das Argument, dass aus der Tangentialität das Verschwinden des totoidalen Feldes außerhalb der Materie folgt, geht so nicht. Da muss man doch mit der Rotation und nicht mit der Divergenz argumentieren, denn die Rotation des B-Feldes ist sein Ursprung, nicht die Divergenz.--CWitte 22:44, 27. Okt. 2011 (CEST)

Aber dennoch: das Argument $\mu i=\square \Psi \mathbf {r}$ schau ich mir mal an. Das hört sich gut an. Ah! Gerade kapiert! Geschlossene Feldlinien kann es ja außerhalb gar nicht geben, wenn die Ladungsverteilung in einem beschränkten Bereich eingeschlossen ist. Das folgt ja aus dem integralen Durchflutungsgesetz!--CWitte 22:50, 27. Okt. 2011 (CEST)

Sorry, ich habe inzwischen ein paar Beispiele von Elementardipolen durchgerechnet. Solange das toroidale Feld nicht alleine ist, kann man das Durchflutungsgesetzt nicht anwenden. Trotzdem ist es bei der Geodynamik wohl so, dass das toroidale Feld an der Oberfläche nicht messbar ist. Eine entsprechende Quelle habe ich hinzugefügt. -- N. Büchen 22:44, 30. Okt. 2011 (CET)

Ja, das mit dem Durchflutungsgesetz war mir mittlerweile auch klar geworden. Schön, dass der Artikel weiter wächst. Interessantes Thema. Hast Du eigentlich die Eichbedingung für A_2 irgendwo? Die würde mich mal interessieren. Oben schreibst du, dass da irgendetwas falscxh wäre.--CWitte 00:17, 31. Okt. 2011 (CET)

Aus den Beispielen lässt sich über Verteilung von Dipolen eine Basis für die beiden Skalarfunktionen erzeugen. Es gibt ja nur die beiden Fälle tangentialer und radialer Dipol. Mit ein paar Drehungen im Raum lässt sich so jede Dipolverteilung und damit jede zulässige Skalarfunktion errechnen. --N. Büchen 10:17, 31. Okt. 2011 (CET)

Ich gehe mal ein paar Einrückungen zurück. So,oder so ähnlich wie du das schreibst, habe ich das auch schon bei Chandrasekhar gelesen (mit einer Basis aus Kugelflächenfunktion aufgebaut). Was aber auch dort nicht erklärt wird, ist, wie ein gegebenes Vektorpotential geeicht werden muss, damit der tangentiale Anteil wie im Text angegeben aus einem Potential χ abgeleitet werden kann. Ich habe die DGL für die Eichfunktion mal ausgerechnet und das ist wieder in der Form genau die DGL, mit der man die Felder aus den Potentialen berechnet:

$\operatorname {rot} (\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{r})=\operatorname {rot} (\nabla f\times \mathbf {e} _{r}),$

die nur tangentiale Anteile enthält. Komponentenweise ergibt das eine Poissongleichung für f auf der Kugeloberfläche und zwei DGL mit radialen Ableitungen. Keine Ahnung, wie die Lösungstheorie davon aussieht. Es gibt sicher ein einfaches Argument...--CWitte 11:23, 31. Okt. 2011 (CET)

Hat sich erledigt. Argument gefunden.--CWitte 11:48, 1. Nov. 2011 (CET)

Fragen

Bei uns Physikern tut sich bezüglich dieses Artikels nichts, deshalb auf dieser Disk einige Fragen, die sich aus dem Vergleich mit dem englischen Stub und den dort angegebenen Quellen ergeben und vielleicht zu Verbesserungen führen. Die Gefahr, mich lächerlich zu machen, ignoriere ich einfach mal.

1. Dort steht "three-dimensional", hier nicht. Gibt es diese Art Zerlegung in mehr als drei Dimensionen?
2. Dort sehe ich ein doppeltes "\nabla \times (\nabla \times …), hier nicht. Ich kann auch nicht erkennen, dass diese Diskrepanz in Verbindung mit der folgenden aus der Welt geschafft werden könnte:
3. Dort steht nichts von einem Magnetfeld, aber von Anwendungen in der Fluiddynamik. Wäre eine allgemeine Formulierung wenigstens für die Einleitung sinnvoll? Etwa so:
   Die Toroidale-Poloidale Zerlegung unterteilt ein (dreidimensionales,) quellfreies Vektorfeld in zwei Anteile, die jeweils nur von einem Skalarfeld abhängen. Ein physikalisches Beispiel für ein solches Vektorfeld ist das Magnetfeld. …
4. r ist in der Physik normalerweise ein allgemeiner Ortsvektor. Hier ist er nicht erklärt, soll aber wohl ein fester Richtungsvektor sein.
5. Dort ist das Helmholtz-Theorem verlinkt, von dem es seit eben einen Link hierher gibt. Ist mein Kapitel Helmholtz-Theorem#Redundanz korrekt?

Gruß – Rainald62 03:20, 9. Jan. 2012 (CET)

• 1) Das Vektorpotential A gibt es zwar als Viererpotential, aber ich glaube nicht, dass eine solche Zerlegung dann funktioniert, weil es dann eigentlich einen weiteren Freiheitsgrad und damit eine dritte Komponente geben müsste. Ich konnte auch nichts dazu finden, vielleicht sollte man drei Dimensionen dann deutlich in den Artikel schreiben.
• 2) Bei uns gibt es auch das doppelte Nabla, aber in der Form rot(rot(chi*e_r))
• 3) steht doch schon so ähnlich da
• 4) Ja, r muss fest gewählt werden.
• 5) müsste korrekt sein: Man teilt das Vektorfeld in einen wirbel- und einen quellenfreien Teil auf, und den quellenfreien. Beim Wirbelfreien hat man schon ein skalares Potential und beim quellenfreien macht man die Zerlegung gemäß Artikel.--Debenben (Diskussion) 19:04, 13. Apr. 2014 (CEST)

Wie kann man sich klarmachen, dass A_2 als Gradient eines Skalars geschrieben werden kann? 129.13.72.197 17:02, 25. Sep. 2014 (CEST)

Du kannst eine Fourierzerlegung wie w:en:Helmholtz_decomposition#Another_derivation_from_the_Fourier_transform machen. Dann hast du die Komponente in Richtung omega und den divergenzfreien Teil $i\,{\vec {\omega }}\times {\vec {\mathbf {G} }}_{\mathbf {A} }({\vec {\omega }})$ senkrecht auf omega. Den musst du dann genauso zerlegen in dem du dir einen Vektor u senkrecht zu omega suchst sodass der Rest senkrecht auf u und omega sein muss.--Debenben (Diskussion) 23:20, 25. Sep. 2014 (CEST)