Diskussion:Raumspiegelung

Dieser Artikel wurde ab Dezember 2012 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Raumspiegelung“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden.

Inversion

Ich denke, dass wir die Diskussion darüber, nicht mehr in der QS Mathematik weiter führen müssen. Dort wurde teilweise gefordert, dass die andere Bedeutung des Wortes Inversion hier genannt wird. Teilweise wurde jedoch gesagt, dass dies mit dem Thema "Raumspiegelung" nichts zu tun hätte. Wie wär's mit einer Fußnote als Kompromiss? --Pyrrhocorax (Diskussion) 21:11, 16. Dez. 2012 (CET)

Worte mit mehreren Bedeutungen sind keine Seltenheit. Entsprechend gibt es seit langem gut eingeführte Richtlinien zum Umgang damit. Diese sieht vor, dass Begriffsklärung und Begriffserklärung getrennt sind. Für die Klärung, welcher Begriff gemeint ist, ist aucschließlich die Begriffsklärung zuständig. Siehe dazu WP:BKH und WP:BKQ. Im Zweifel wäre das Wikiprojekt WP:BKF sicher bereit, bei der Interpretation der Richtlinie behilflich zu sein.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:35, 16. Dez. 2012 (CET)

Einleitung: Bezug zu Achsen- oder zu Ebenenspiegelung?

...die Vorzeichen aller Koordinaten umkehren, während sich bei einer Achsenspiegelung, z. B. an der x-y-Ebene ...

Da die Achsenspiegelung der 2-D-Fall-Spezialfall der Ebenenspiegelung ist, müsste dann der Bezug (in diesem Fall von 3-D) nicht zur Ebenenspiegelung gehen? --Pyrometer (Diskussion) 10:53, 2. Jan. 2013 (CET)

ja. Ich ändere das.---<)kmk(>- (Diskussion)

Verbesserungen

• 2. Satz aufgeteilt, um das Verhältnis zur ebenen Spiegelung deutlicher zu machen.
• Bei System kann man schlecht von Parität reden, weil es vom Zustand abhängt, welche und ob überhaupt es eine hat.
• Bei System ist auch Vorzeichenumkehr nicht so klar, daher Beispiele gebracht.
• Invarianz von Wechselwirkungen wenigstens ansatzweise umschrieben.
• Bezug zu Auswahlregel gestrichen, war hier nur ein Anhängsel und ist wohl eher über Parität am rechten Platz.
• Andere Dimensionen: Umbenannt und systematisiert.
• Die O(2) enthält auch Matrizen mit Det = -1. Ist sie zusammenhängend? Wegen Zweifeln habe ich den Satz gestrichen.

--jbn (Diskussion) 16:01, 9. Apr. 2013 (CEST)

Ich sehe eine kleine Ungenauigkeit: Die volle Raumspiegelung erhält man, wenn man nach der Spiegelung an einer Ebene durch den Nullpunkt/Ursprung noch eine Drehung von 180° um die Normale ausführt.

Und vielleicht deutlicher: ...Drehung von 180° um die Normale der Spiegelungsebene... --Pyrometer (Diskussion) 17:19, 9. Apr. 2013 (CEST)

Die Raumspiegelung kann man nicht durch eine Spiegelung an einer Ebene und anschließende Drehung darstellen. Wenn der betrachtete Körper eine Händigkeit aufweist, so wird er durch die Spiegelung in sein Spiegelbild überführt (Chemiker würden vom Enantiomer sprechen). Bild und Spiegelbild kann man durch Drehung und Verschiebung nicht zur Deckung bringen. Bei der Punktspiegelung bzw. Raumspiegelung geht dies aber. (Ich habe den Satz aus dem Artikel rausgenommen). --Pyrrhocorax (Diskussion) 17:16, 9. Apr. 2013 (CEST)

Dann habe ich gleich noch ein Verständnisproblem: Ich habe meine rechte Hand wie für die allseits beliebte 3-Finger-Regel in die Luft gestellt und dann versucht, mit der linken Hand eine Raumspiegelung und eine Ebenenspiegelung meiner rechten Hand darzustellen. Ist beides gelungen, aber nach Deiner Darstellung müsste doch eines davon misslingen? --Pyrometer (Diskussion) 17:33, 9. Apr. 2013 (CEST)

Du hast vollkommen recht. Ich habe irrtümlich von 2 auf 3 Dimensionen geschlossen. In 2 Dimensionen lässt die Punktspiegelung die Händigkeit unverändert. Ich hatte übersehen, dass das in drei Dimensionen nicht gilt. --Pyrrhocorax (Diskussion) 18:26, 9. Apr. 2013 (CEST)

Man lebt und lernt. ;-)))

Hat damit zu tun, dass 2-dim Raumspiegelung nur dreht, aber 3-dim eine Spiegelung in der Tiefe hinzukommt. Und damit, dass ein Spiegel gar nicht rechts und links (genau so wenig, wie oben und unten), sondern vorne und hinten vertauscht. (Also implizit doch die 3. Dimension drin steckt) --Pyrometer (Diskussion) 18:41, 9. Apr. 2013 (CEST)

Raumzeit, ich habe ein Verständnisproblem

So steht es im Moment in der Einleitung:

Betrachtet man im Zusammenhang mit der Raumzeit auch die Zeit als Dimension, so ändert die Raumspiegelung nur die Vorzeichen der räumlichen Koordinaten, die Zeit bleibt unverändert.

Wenn ich das richtig verstehe, wird also bei einer Erweiterung auf die 4. Dimension jene 4. Dimension "Zeit" abweichend vom Schema der ersten 3 Dimensionen behandelt? Indem dort (im Unterschied zu den 3 Ortskoordinaten) keine Vorzeichenumkehr stattfindet?

So richtig?

Im Falle der Raumzeit kommt die Zeit als weitere Dimension hinzu. Hier ist die Raumspiegelung so definiert, dass nur die kartesischen Ortskoordinaten das Vorzeichen wechseln, während die Zeitkoordinate unverändert bleibt.

Wenn ich das richtig verstanden habe (inzwischen bin ich mir recht sicher, Fragen formulieren klärt den Kopf), würde ich den Satz gelegentlich entsprechend ersetzen. --Pyrometer (Diskussion) 17:09, 9. Apr. 2013 (CEST)

Raumspiegelung als Drehung

Für die Dargestellte Behauptung fehlt ein Beleg, da jene falsch ist.

Es wird immer nur in einer Ebene (z.B. der x-y-Ebene) gedreht. Alle Vektoren orthogonal zu dieser Ebene bleiben unverändert (Fixpunkte). Daraus folgen unterschiedliche Fixpunkte, Welche Drehpunkt, Drehachse etc. genannt werden. In 2D sagt man es wird um einen Punkt (Drehpunkt=Fixpunkt) gedreht. In 3D sagt man es wird um eine Gerade(Drehachse) gedreht. In 4D dreht man um eine Ebene. Dies lässt auch erkennen, wieso eine Drehung nur in n=2 Dimensionen einer Raumspiegelung gleicht: In n=1 Dimension gibt es keine Drehung, aber sehr wohl die Raumspiegelung(mit 1 Fixpunkt). In 3D gibt es eine Drehung um eine Achse, was bedeutet dass die Koordinaten in Richtung dieser Achse unverändert bleiben anstatt ihr Vorzeichen zu wechseln. Anders gesagt, die 180° Rotation in n=3 Dimensionen hat mehr (unendlich viele) Fixpunkte(=Drehachse) als die Raumspiegelung mit nur einem Fixpunkt (Koordinatenzentrum), diese Transformationen können also gar nicht identisch sein.

Im Geiste der Wikipedia bitte ich deswegen darum, nur zitiertes Wissen und kene Eigenarbeit zu verwenden und diesen Abschnitt zu korrigieren oder zu löschen. --46.125.249.44 10:04, 27. Jul. 2020 (CEST)

Mein Vorschlag ist, den Abschnitt so oder so ähnlich zu gestalten:

Raumspiegelung als Drehung(en)

Für alle Räume mit gerader Dimensionszahl, also mit 2n Dimensionen für alle n 0...unendlich kann die Raumspiegelung als n 180° Drehungen in n orthogonal aufeinanderstehenden Ebenen um den Koordinatenursprung dargestellt werden

Beispiele:

• 0 Dimensionen: keine Drehung
• 2 Dimensionen: 180° Drehung in der x-y-Ebene um den Koordinatenursprung.
• 4 Dimensionen: 180° Drehung in der x-y-Ebene um den Koordinatenursprung und 180° Drehung in der z-u-Ebene um den Koordinatenursprung.
• 6 Dimensionen: 180° Drehung in der x-y-Ebene um den Koordinatenursprung und 180° Drehung in der z-u-Ebene um den Koordinatenursprung und 180° Drehung in der v-w-Ebene um den Koordinatenursprung

Für alle Räume mit ungerader Dimensionszahl lässt sich einfach eine weitere Dimension hinzufügen und dann die Regel für gerade Dimensionen befolgen. --46.125.249.44 10:28, 27. Jul. 2020 (CEST)

Ich habs nicht nachgeprüft, aber der Abschnitt könnte von mir sein, und ich habs mir wohl zu einach vorgestellt, um überhaupt nach einem Beleg zu suchen. Deine Darstellung erscheint mir richtig, kannst Du eine Quelle nennen? --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:25, 28. Jul. 2020 (CEST)

Hallo 46.125.249.44, @Bleckneuhaus, Eulenspiegel1: Ich stelle gerade fest, dass meine Frage an Eulenspiegel auf Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1#Raumspiegelung sich mit dem hier Geschriebenen überlappt.

Wie ich in der dortigen Diskussion angedeutet habe, sind die angeblich n Drehungen im 2n-dimensionalen Raum, wie sie auch von 46.125.249.44 oben skizziert wurden, jeweils zueinander kommutativ, weshalb sie auch jeweils als eine Drehung um 180° aufgefasst werden können.

Allerdings stimme ich Eulenspiegel1 zu, dass der von ihm gestrichene Abschnitt insofern falsch war, als dass sich die jeweilige Drehachse wohl nur für die zweidimensionale Punktspiegelung wie angegeben konstruieren lässt. Der gestrichene Text ist insofern unvollständig da er nicht auf das unterschiedliche Vorzeichen der Determinanten von geradezahhlig-dimensionalen und ungeradezahhlig-dimensionalen Punktspeiegelungen eingeht.

Dennoch plädiere ich auf Reverteierung der Streichung und anschließende Korrektur des Texts. --Dogbert66 (Diskussion) 02:32, 29. Jul. 2020 (CEST)

Bei geraden Dimensionen können wir problemlos schreiben, dass sich die Punktspiegelung auch durch eine Drehung darstellen lässt.

Bei ungeraden Dimensionen finde ich das deutlich problematischer: Eine Drehung ist definiert als "eine Selbstabbildung des euklidischen Raumes mit mindestens einem Fixpunkt, die alle Abstände invariant lässt und die Orientierung erhält." Eine Punktspiegelung in einem Raum mit ungeraden Dimensionen verändert jedoch die Orientierung.

Was man höchstens sagen kann: "Eine Punktspiegelung in einem Raum mit geraden Dimensionen lässt sich als eine Drehung darstellen. Wenn man in diesem Raum eine Dimension entfernt, ist die Punktspiegel-Abbildung eingeschränkt auf den (n-1)-dimensionalen Raum immernoch eine Punktspiegelung - die dazugehörige Drehabbildung ist jedoch keine Drehung mehr, wenn man sie auf den (n-1)-dimensionalen Raum einschränkt." --Eulenspiegel1 (Diskussion) 18:50, 29. Jul. 2020 (CEST)

Moment mal, ich weiß eigentlich gar nicht, wogegen Eulenspiegel sich hier wehrt. Ausgangspunkt soll doch eine Spiegelung im (n-1)-Raum (Eulenspiegelsche Zählung) sein. Sehe ich denn richtig: wenn ich eine 3D-Punktspiegelung mit Matrix \diag{-1,-1,-1} zur einer 4D-Punktspiegelung \diag{-1,-1,-1,-1} erweitere, welche ich als Produkt von 2 Drehungen (jeweils mit 1 invarianten Ebene) \diag{-1,-1,+1,+1} und \diag{+1,+1,-1,-1} ansehe? Das sollte der Text in allgemeiner Form wiedergeben.--Bleckneuhaus (Diskussion) 19:25, 29. Jul. 2020 (CEST)

@Eulenspiegel1: Dein Einwand ist nicht korrekt: auch die hier und in Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1#Raumspiegelung vorgeschlagenen Drehungen in vier (bzw. allgemein 2n+2) Dimensionen als Ersatz für die Punktspiegelung in drei (bzw. 2n+1) Dimensionen erhalten die Orientierung, allerdings spiegeln sie auch die neu eingefügte Dimension.

Ich teile inzwischen Deine Ansicht, dass der von Dir gestrichene Abschnitt fehlerhaft gewesen ist, allerdings konzentriert sich meine Kritik auf genau zwei Punkte: a) es ist insofern zwischen geraden und ungeraden Dimensionen zu unterscheiden, als dass die Punktspiegelungen in geraden Dimensionen die Determinante +1, in ungeraden Dimensionen Determinante -1 haben. b) Der Begriff "Drehachse" (als eindimensionale Fixpunktmenge) ergibt nur für die als 2n+1-dimensionale Drehung dargestellten Punktspiegelungen in 2n Dimensionen einen Sinn.

Dennoch: der gestrichene Satz "Eine Raumspiegelung in einem n-dimensionalen euklidischen Raum lässt sich immer als 180°-Drehung in einem (n+1)-dimensionalen Raum auffassen." war korrekt, auch wenn die Begründung falsch war. Ich führe das gerade mal aus:

• 1 Dimension: Wir wollen eine Punktspiegelung in einem eindimensionalen Raum durchführen. Nennen wir diesen eindimensionalen Raum gerade mal x-Achse und den Punkt um den wir raumspiegeln wollen den Ursprung x=0. Die Determinante dieser Abbildung ist -1, was uns aber nicht verwirren soll! Wie im gestrichenen Text vorgeschlagen betrachten wir das nun in 2 Dimensionen und drehen um 180° um den Ursprung. Feststellungen:

– Die Drehung hat die positiven Punkte der x-Achse gerade auf die negativen Punkte abgebildet und andersherum, die Punktspiegelung ist als solche durchgeführt worden.

– Die Drehung hat nur den Ursprung als Fixpunkt: es gibt also keine Drehachse und wir haben auch ganz sicher keine Drehung um die neu eingeführte Koordinatenachse, also die y-Achse durchgeführt. Insofern ist die Fortsetzung des gestrichenen Textes bereits in dieser Dimension fehlerhaft.

– Wir stellen aber auch fest: die Determinante der zweidimensionalen Drehung ist +1! Die Orientierung der zweidimensionalen Ebene ist erhalten geblieben! Allerdings haben wir bei der Drehung auch die neu eingeführte zweite Dimension gespiegelt: die obere Halbebene liegt jetzt auf der unteren, und andersherum. Das sollte uns aber nicht stören, weil es uns nur um die Punktspiegelung des eindimensionalen Raums ging.

• 2 Dimensionen: Führen wir eine Punktspiegelung in der x-y-Ebene durch, so stellen wir erst einmal fest, dass die Determinante dieser Abbildung +1 ist, wir können sie also auch als Drehung in diesem zweidimensionalen Raum auffassen. Dennoch führen wir wie im gestrichenen Text vorgeschlagen eine weitere Dimension ein, und drehen um 180° um die z-Achse. Feststellungen:

– Durch die Drehung um die z-Achse haben wir in der x-y-Ebene eine Punktspiegelung am Ursprung durchgeführt.

– Die Fixpunktmenge ist gerade die z-Achse, die damit die Bezeichnung Drehachse verdient hat. Da es die Koordinantenachse der zusätzlichen Dimension ist, stimmt die Aussage des restlichen Texts.

– Die Determinante der Drehung um die z-Achse ist +1. Die Orientierung des dreidimensionalen Raums ist gleich geblieben. Wir haben entlang der z-Richtung nicht spiegeln müssen.

• 3 Dimensionen: Auch hier ist die Determinante der Punktspiegelung -1. Wieder führen wir eine höhere Dimension hinzu (oben u genannt). Unsere Drehmatrix ist nun:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &&\\-\sin \alpha &\cos \alpha &&\\&&\cos \alpha &\sin \alpha \\&&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$

Feststellungen:

– Für $\alpha =180^{\circ }$ haben wir gerade die Punktspiegelung des dreidimensionalen Raums durchgeführt.

– Da die Drehmatrix für allgemeines $\alpha$ keinen Eigenwert +1 hat, gibt es nur den Ursprung als Fixpunkt der Drehung (danke an Benutzer:Digamma, der in Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1#Raumspiegelung auf dieses Detail hingewiesen hat. Das heißt: es gibt keine Drehachse, diese stimmt somit auch nicht mit der neu eingeführten u-Achse überein. Vielmehr gilt:

– Die Determinante der vierdimensionalen Drehung ist +1! Die Orientierung des vierdiemensionalen Raums ist dieselbe geblieben! Aber wir haben den "oberen" Halbraum in u-Richtung dabei auch auf den unteren Halbraum gespiegelt und andersherum! Wie für das eindimensionale Beispiel soll uns das aber nicht weiter stören, weil es uns nur um die Punktspiegelung des dreidimensionalen Raums ging.

• höhere Dimesnionen analog, wobei man immer zwischen den geraden und den ungeraden Fällen unterscheiden muss ...

Ich würde den getsrichenen Satz "Eine Raumspiegelung in einem n-dimensionalen euklidischen Raum lässt sich immer als 180°-Drehung in einem (n+1)-dimensionalen Raum auffassen." ja gerne wieder in den Artikel bringen. Ich weiß aber nicht, was da nun als Beleg angeführt werden muss:

– selbst wenn ich in einem Gruppentheoriebuch finden würde, dass die diskrete Abbildung aus $SO(2n+1)/SO(2n+1)_{+}$ immer Element der Drehungen $SO(2n+2)_{+}$ ist, so würde ich einen entsprechenden Beleg nicht als oma-tauglich bezeichnen.

– Das heißt, dass wohl nur eine Erläuterung wie die oben skizzierte als "Beleg" zur Verfügung steht, um Oma die Richtigkeit der Aussage zu "belegen".

– Wie oben bereits erwähnt halte ich es für wünschenswert, nach dem Satz und seinem "Beleg" noch zu erwähnen, dass die diskrete Abbildung Punktspiegelung spätestens eine Dimension höher auch durch eine kontinuierliche Abbildung dargestellt werden kann. Die höhere Dimension benötigt man dabei allerdings immer nur für die ungeraden Dimensionen, aber sie stören auch nicht für gerade Dimensionen. --Dogbert66 (Diskussion) 22:35, 29. Jul. 2020 (CEST)

Die Sache ist, dass Drehungen per definitionem immer orientierungstreu sind: Nehme eine Person, die in der rechten Hand eine Feder hält. Du kannst sie beliebig drehen, aber egal wie du sie drehst: Sie wird die Feder immernoch in der rechten Hand halten. Denn so sind Drehungen definiert.

Wenn du jedoch eine Punktspiegelung an der Person durchführst, wird sie die Feder plötzlich in der linken Hand halten. Aus dem Rechtshänder ist durch Punktspiegelung ein Linkshänder geworden.

Das ist der große Unterschied von Punktspiegelungen und Drehungen in ungeraden Dimensionen: Bei dem einen bleibt die Orientierung erhalten (ein Rechtshänder bleibt immer ein Rechtshänder), bei dem anderen ändert sich die Orientierung (ein Rechtshänder wird zum Linkshänder).

In höherdimensionalen Räumen kann man sich die Orientierung anhand von Hyperwürfeln veranschaulichen: Ein n-dimensionaler Hyperwürfel hat 2n Hyperseiten. Wenn man diese von 1 bis 2n so durchnummeriert, dass die gegenüberliegenden Seiten 2n+1 ergeben, gibt es immer genau 2 Möglichkeiten.

Durch Drehungen kann man per definitionem niemals den einen Würfel in den anderen Würfel überführen. Es bleibt per definitionem der gleiche Würfel, wenn ich ihn drehe.

Durch Punktspiegelung in geraden Dimensionen ändert sich der Würfel ebenfalls nicht. Es bleibt ebenfalls der gleiche Würfel.

Durch Punktspiegelungen in ungeraden Dimensionen kann man jedoch den einen Würfel in den anderen Würfel überführen (die Orientierung ändert sich). --Eulenspiegel1 (Diskussion) 17:53, 30. Jul. 2020 (CEST)

@Eulenspiegel1: Das ist ja genau der Grund, warum man bei den ungeraden Dimensionen die Zusatzdimension benötigt. Hier steht nicht, dass die Punktspiegelung in 3 Dimensionen eine Drehung in 3 Dimensionen wäre! Vielmehr ist die Punktspiegelung in 3 Dimensionen eine Drehung in 4 Dimensionen und als solche bleibt bei ihr die Orientierung erhalten! --Dogbert66 (Diskussion) 11:01, 31. Jul. 2020 (CEST)

Dass man in geraden Dimensionen die Punktspiegelung durch Drehung erklären kann, können wir gerne in den Artikel schreiben.

Dass ein Raum mit ungerader Dimension als Teilraum eines Raumes mit einer geraden Dimension aufgefasst werden kann, ist trivial. OmAs, die diese Trivialität aber nicht wissen und denen man das erklären müsste, wissen dann aber auch nicht, dass sich die Eigenschaften in dem höherdimensionalen Raum verändern.

Oder anders ausgedrückt: Natürlich kannst du einen 3dimensionalen Raum als Teilmenge eines 4dimensioanlen Raumes auffassen. Das ist trivial. Und eine Punktspiegelung im 4dimensionalen Raum ist auch gleichzeitig eine Punktspiegelung im 3dimensionalen Raum. Aber die Drehung im 4dimensionalen Raum ist eben keine Drehung im 3dimensionalen Raum. Insofern ist es irreleitend, darauf hinzuweisen, dass der 3dimensionale Raum als Teilmenge eines 4dimensionalen Raums aufgefasst werden kann. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 13:59, 1. Aug. 2020 (CEST)

Abwegige Begründung für irreleitend. Wäre demnach auch ein Halbkreis keine Teilmenge eines Vollkreises, weil er nämlich Ecken hat, sogar gleich zwei? --Bleckneuhaus (Diskussion) 14:11, 1. Aug. 2020 (CEST)

Nein, der Halbkreis ist selbstverständlich ein Teilmenge eines Vollkreises. Aber würdest du im Artikel Halbkreis schreiben: "Ein Halbkreis lässt sich zu einem Vollkreis erweitern. Vollkreise sind invariant gegenüber Drehungen."

Oder auch: "Bei einem Vollkreis ist es egal, ob du ihn um 90° oder um 180° drehst. Ein Halbkreis ist letztendlich nur eine Teilmenge des Vollkreises."

Man kann gerne im Artikel Kreis schreiben, dass dieser invariant gegenüber Drehungen ist. Im Artikel Halbkreis gehört diese Info jedoch nicht, auch wenn es sich beim Halbkreis um eine Teilmenge des Vollkreises handelt. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 15:26, 1. Aug. 2020 (CEST)