Diskussion:Morphismus

Falls jemand die deutschen Begriffe für Retraktion und Sektion eintragen könnte, wäre das hilfreich. Ebenso fehlt in der englischen Wikipedia ein Artikel über Bimorphismen. In dem sollte dann möglichst auch ein Beispiel eines Bimorphismus sein, der kein Isomorphismus ist (falls das nicht zu abgehoben ist). --SirJective 20:10, 4. Sep 2003 (CEST)

Anscheinend sind die Begriffe tatsächlich richtig, und das erbetene Beispiel ist inzwischen auch gegeben. --SirJective 22:19, 23. Okt 2004 (CEST)

Ich habe in der deutschsprachigen Literatur keinen anderen Begriff für Retraktion gefunden. Fucethebads 15:53, 19. Jun. 2008 (CEST)

Als dummer Anfängerstudent ist mir diese Artikel vollkommen nichtssagend. Schön ist, einen Kontext von Morphismen zur Mathematik zu geben, aber hier ist überhaupt nicht erklärt, was ein Morphismus ist. Im englischen Artikel ist es mir verständlicher geworden: Ein Morphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei verschiedenen mathematischen Strukturen. Oder so ähnlich. Aber eigentlich genügt das meinem formalistischem Herz noch immer nicht. Immerhin muss es doch nach dem Geschmack der Zeit, alles zu axiomatisieren, mindestens eine formal logische Definition geben. --Thanatos 15:36, 24. Jun 2006 (CEST)

Ein Morphismus muss halt keine Abbildung sein, insofern ist der zitierte Satz nur die halbe Wahrheit. Um mal bei einem elementareren Begriff anzufangen: Was ist ein Vektor? Antwort: Ein Element eines Vektorraumes. Aber jedes mathematische Ding X (also formal: jede Menge) ist Element in irgendeinem Vektorraum, und sei es auch nur in dem Vektorraum, der nur aus dem Element X besteht, das in ihm die Rolle des Nullvektors einnimmt. Natürlich sind irgendwelche $n$-Tupel von Zahlen charakteristische Beispiele für Vektoren, aber das Wesen des Vektors entsteht erst durch den größeren Zusammenhang als Element eines Vektorraumes.

Entsprechend sind strukturerhaltende Abbildungen charakteristische Beispiele für Morphismen, aber jedes Ding (jede Menge) kann ein Morphismus sein, beispielsweise als Identitätsmorphismus einer Kategorie mit einem Objekt. Erst der Kontext einer Kategorie macht etwas zu einem Morphismus. Eine formale Definition einer Kategorie findest Du in Kategorientheorie. Ist es jetzt klarer?--Gunther 15:43, 24. Jun 2006 (CEST)

P.S. Habe eben mal im englischen Artikel nachgelesen. Dort steht: […] ist die Abstraktion einer stukturerhaltenden Abbildung […] --Gunther 15:58, 24. Jun 2006 (CEST)

Ich muss dennoch Thanatos zustimmen. Wo ist die formale Definition? --Paschelino 17:18, 5. Jan. 2008 (CET)

Kategorien

Im Text heißt es:
„Es gibt aber auch ganz anders gebildete Kategorien, in der man sich Morphismen nicht als Funktionen vorstellen kann, etwa die Kategorie Toph, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind oder die Kategorie Rel deren Objekte Mengen und deren Morphismen die Menge der Relationen zwischen je zwei Objekten ist.“
Ist damit gemeint, dass bei Rel die zugehörigen Relationen die Morphismen sind? Dann muss es richtig heißen: entweder ist „deren Morphismenmenge die Menge der Relationen“ oder es sind „deren Morphismen die Relationen“.
Und bei Toph bezweifle ich, dass die Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind: eher dürften die Objekte die Äquivalenzklassen von topologischen Räumen bezüglich Homotopie sein (eine Klasse besteht aus allen Räumen, die homotopieäquivalent sind) und deren Morphismen die entsprechenden Homotopieklassen stetiger Funktionen. Denn üblicher Weise bildet man bezüglich einer Äquivalenzrelation die Menge aller Äquivalenzklassen auf einer Struktur und erhält dann eine entsprechende Quotientenstruktur (das sind die Objekte der Kategorie) und betrachtet dann zu diesen die zugehörigen Morphismen, also die mit dieser Struktur verträglichen Abbildungen. --RPI 15:33, 2. Nov. 2009 (CET)

Literatur

Braucht dieser Artikel eigentlich gar keine Quellenangaben? Gibt es ein deutschsprachiges Standardlehrbuch? Graf Alge 10:48, 20. Apr. 2010 (CEST)

Für die Programmierer

Kata(fold)- und Anamorphismus(unfold) wären für die Programmierer noch recht interessant. (nicht signierter Beitrag von Wikitester2501 (Diskussion | Beiträge) 20:09, 22. Feb. 2012 (CET))

Scheint mir etwas speziell, um gut in die Liste zu passen, da gäbe es dann schätzungsweise noch ganz andere, die dazu müssten. Aber prinzipiell wäre es natürlich schön, Informationen dazu in der deutschen Wikipedia zu haben. --Chricho ¹ ² 22:31, 22. Feb. 2012 (CET)

Also die beiden sind Homomorphismen, Kata- aus einer initialen F-Algebra und Ana- in eine terminale F-Koalgebra. Ziemlich speziell. Zumal das ja erst mit dem (momentan fehlenden) drumherum (also wieso ist das für Rekursion/Korekursion/Induktion/Koinduktion so interessant, Daten/Kodaten-Unterscheidung, (wichtig, wenn man per-Konstruktion-terminierende und dennoch interessante Programme schreiben lassen will), was ist bei algebra-coalgebra-coincidence, etc. ...) so richtig witzig wird. --Daniel5Ko 01:31, 23. Feb. 2012 (CET)

Hallo Daniel, Chricho,

na wenn das mal nicht die üblichen verdächtigen sind ;). Mein Standpunkt ist halt das man hier (Morphismus) als abstraktes oder theoretisches Konzept mit einem Konstrukt aus Programmiersprachen in Verbindung bringen kann. Quasi ein sehr nettes Theorie <-> Praxis Beispiel. Auch wenn Kata/Ana schon als spezial Fall gelten. Wikitester2501 16:51 26. Feb. 2012

Rel-Morphismen angeblich keine Funktionen...

Als Objekte nehme man Mengen. Die Morphismenmenge zwischen Objekt A und Objekt B sei die Menge der Funktionen $A\to {\mathcal {P}}(B)$ (anstatt ${\mathcal {P}}(A\times B)$). Für die Identitäts-Morphismen und die Morphismenverknüpfung nehme man

• $\operatorname {id} _{A}:=a\mapsto \{a\}$,
• $f\circ g:=x\mapsto \bigcup \{f(z)\mid z\in g(x)\}$.

...wobei rechts vom := normale Funktionsdefinitionsrümpfe stehen.

So. Jedenfalls kann man, wenn man Lust hat, diese Funktionen auch wieder in Relationen zurückübersetzen und sehen, dass die definierte Morphismenverkettung der Relationsverkettung entspricht. --Daniel5Ko 01:47, 23. Feb. 2012 (CET)

Ooops, Ergänzung: "zwischen den Objekten" habe ich überlesen. Okay, dann ist das ungültig. --Daniel5Ko 01:58, 23. Feb. 2012 (CET)

Ach, das hast du ja erst mit deinem Revert reingeschrieben, Chricho. Schlingel! --Daniel5Ko 02:09, 23. Feb. 2012 (CET)

Ja, ich Schlingel, aber das ist doch das Maßgebliche an dem Beispiel, was es auch stark von den üblichen Beispielen unterscheidet. Also okay so? --Chricho ¹ ² 02:20, 23. Feb. 2012 (CET)

Hmm, ich sehe da keine große Abweichung zu "üblichen" Beispielen. Aus meiner Sicht wäre eine wirklich lehrreiche Abweichung das, was momentan unter "Beispiele" steht: aus Quasiordnung eine Kategorie basteln; Morphismen sind eigentlich nur Zeugen für das Gelten einer Relation zwischen zwei Elementen; Morphismenverkettung entspricht der Konstruktion von Zeugen für einen Transitivitätsnachweis. Aber so oder so: mit dem Zusatz "zwischen den Objekten" ist es erstmal okay. --Daniel5Ko 03:05, 23. Feb. 2012 (CET)

Auch dort lässt es sich wohl bewerkstelligen, mehr oder minder sinnvolle injektive Funktoren in eine „übliche“ Kategorie, in der die Morphismen Funktionen sind, zu konstruieren. Aber ja, du hast damit Recht, dass solche Beispiele eher von der üblichen Auffassung abweichen als Relationen. --Chricho ¹ ² 15:21, 24. Mär. 2012 (CET)

Typen: falsches Beispiel

Ein angebliches Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus sei, soll die Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen sein. Das ist aber kein bijektiver Homomorphismus, sondern nur ein injektiver Homomorphismus, der nicht surjektiv ist: bekanntlich sind bijektive Homomorphismen von algebraischen Strukturen stets Isomorphismen. Entweder man hat eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und den rationalen Zahlen, dann ist diese aber kein Ringhomomorphismus, oder man hat einen Ringhomomorphismus zwischen beiden, der nicht bijektiv ist. Dagegen sind bijektive stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen Bimorphismen, die nicht immer Homöomorphismen bzw. Isomorphismen sind. --RPI (Diskussion) 14:02, 21. Okt. 2013 (CEST)

Das Beispiel behauptet doch gar nicht, dass die Einbettung bijektiv ist, sondern nur, dass sie Monomorphismus und Epimorphismus ist (in der Kategorie der Ringe mit 1). Dass sie ein Epimorphismus ist, heißt nicht etwa, dass sie surjektiv ist, sondern nur, dass jeder Ring-mit-1-Homomorphismus, der von $\mathbb {Q}$ ausgeht, durch die Werte, die er auf $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ annimmt, bereits festgelegt ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:55, 21. Okt. 2013 (CEST)

Wie ist denn dieser Bimorphismus definiert, der die ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen einbettet? --RPI (Diskussion) 13:50, 22. Okt. 2013 (CEST)

Wenn man das, was ich oben schrub, wörtlich nimmt (also die Einbettung bezeugt u.a. die Teilmengenbeziehung), dann $z\mapsto z$. Wenn einem danach ist, kann man Kodierungs-Blabla natürlich trotzdem mitberücksichtigen. Man kann aber auf jeden Fall sagen, dass etwas, was "Einbettung" heißen darf, zuallermindest Monomorphismus ist. Ein möglicher Nachweis, dass es sich um einen Epimorphismus handelt, macht entscheidenden Gebrauch davon, dass es in $\mathbb {Q}$ multiplikative Inverse gibt und Homomorphismen aus $\mathbb {Q}$ Einsen erhalten. --Daniel5Ko (Diskussion) 19:55, 22. Okt. 2013 (CEST)

Als Nichtkategorientheoretiker fällt es schwer, ohne konkretes Beispiel zu verstehen, was ein Epimorphismus und ein Monomorphismus in der Kategorientheorie ist, ohne ein surjektiver bzw. injektiver Morphismus zu sein. Als normaler Mathematiker erwartet man eigentlich, dass eine Strukturtheorie, die ja die Kategorientheorie sein will, die verschiedenen strukturverträglichen Abbildungen (konkrete Morphismen) so charakterisiert, dass deren Abstraktionen (abstrakte Morphismen) die gleichen strukturrelevanten Eigenschaften besitzen wie ihre konkreten Vorbilder.

Für einen injektiven (konkreten) Morphismus $\varphi \colon A\to B,a\mapsto \varphi (a),$ einer beliebigen konkreten Kategorie ${\mathcal {C}},$ deren Morphismen Abbildungen zwischen Mengen sind, gilt bekanntlich:

${\breve {\varphi }}\colon A\to \varphi (A),a\mapsto \varphi (a),$ ist bijektiv und $\varphi (A)$ ist ein Objekt von ${\mathcal {C}}.$ D.h. aber, dass ${\breve {\varphi }}$ ein Isomorphismus in der konkreten Kategorie der Mengen ${\mathcal {M}}$ ist.

Ein injektiver Morphismus $\varphi$ jeder Unterkategorie von ${\mathcal {M}}$ kann daher als Isomorphismus in ${\mathcal {M}}$ charakterisiert werden, vorausgesetzt $\varphi$ und ${\breve {\varphi }}$ werden als im wesentlichen gleich betrachtet. Dazu muss man die Morphismen $\chi$ mit $\operatorname {dom} (\chi )=A$ in geeignete Äquivalenzklassen $[\chi ]_{A}$ einteilen, sodass es ein kleinstes $\psi \in [\varphi ]_{A}$ gibt (nämlich ${\breve {\varphi }}$). Ist dieses ein Isomorphismus in ${\mathcal {M}},$ dann ist $\varphi$ injektiv. --RPI (Diskussion) 14:59, 24. Okt. 2013 (CEST)

Wenn man unbedingt ausdrücken will, dass ein Morphismus $f$ einer konkreten Kategorie ${\mathcal {C}}$ surjektiv ist, geht das natürlich auch, nämlich: "$Uf$ ist ein Epimorphismus", wobei $U\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {M}}$ "der" Vergissfunktor ist. Hier findest du eine Übersicht über acht Adjektivkombinationen, mit denen man "Epimorphismus" garnieren kann, um mehr zu fordern als es die Grunddefinition tut. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:55, 24. Okt. 2013 (CEST)

Konkrete Definition des Morphismen Begriffs

Meiner Ansicht nach sollte hier ein konkrete Definition des Morphismen Begriffs geliefert werden, also die Anforderungen an Identität und Assoziativität, damit auch der allgemeinere Charakter eines Morphismus gegenüber einer Relation klarer wird. (nicht signierter Beitrag von AlgebraFreak (Diskussion | Beiträge) 16:19, 14. Feb. 2014 (CET))

Ja sicher sollte der Artikel in die Richtung etwas erweitert werden. Jedoch habe ich den Eindruck, dass die Assoziativität und die Existenz der Identität nicht zur Definition des Morphismuses, sondern zur Definition der Kategorie gehört. Wie könnte man denn dem Artikel einen Abschnitt zur Definition geben? Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 20:25, 16. Mär. 2014 (CET)

Nach dem Ende

@GroupCohomologist: Magst du dieses Artikels annehmen? --Altkatholik62 (Diskussion) 04:11, 5. Aug. 2017 (CEST)

@Altkatholik62: Auf jedem Fall kann ich mir ihn ansehen. Allerdings fällt mir – von der Abwesenheit jeglicher Belege abgesehen – nicht sofort ein, wo akuter Handlungsbedarf besteht. Es gibt kein QS-Baustein, und in den letzten Jahren scheint hier nichts los gewesen zu sein. Besonders einleuchtend für Nichtexperten ist der Artikel zwar nicht, das lässt sich aber leider für viele Mathe-Artikel sagen, und ist auch nicht immer zu vermeiden. --GroupCohomologist (Diskussion) 08:03, 5. Aug. 2017 (CEST)

@GroupCohomologist: Genau die Beleglosigkeit meinte ich. Findest du evtl. ein oder zwei Belege (gerne auch Literatur) zum Morphismus? Dir als Fachmensch fällt das wahrscheinlich leichter als mir mathematisch Halbgebildeten, dessen Kenntnisse nicht über Abiturniveau hinausgehen. --Altkatholik62 (Diskussion) 22:21, 5. Aug. 2017 (CEST)

@Altkatholik62: Vorweg: Ich habe den Artikel jetzt auf meinem Beo. Zur Sache: Ja, mir fällt einiges an Literatur sofort ein. Könnte aber ein bisschen Zeit dauern, bis ich was unternehme, aus zwei Gründen: 1) RL, 2) Zu prüfen wäre, ob man diesen Artikel auf Morphismus (Kategorientheorie) verschieben und an seiner Stelle eine BKL-Seite erstellen sollte, denn der Begriff hat mehr als eine Bedeutung innerhalb der Mathematik (obwohl alle eng miteinander verwandt sind), und dieser Artikel ist kein besonders guter Einstiegspunkt für den Nicht-Mathematiker. Ja, es ist die größtmögliche Verallgemeinerung, aber es in der Mathematik häufig so, dass man erst gegen Ende einer Reise wirklich verstehen kann, wohin die Reise überhaupt gehen soll. --GroupCohomologist (Diskussion) 22:43, 5. Aug. 2017 (CEST)

Danke dir, und lass dir ruhig Zeit. Mir war es nur wichtig, den Artikel der Aufmerksamkeit eines kompetenten Fachmenschen zu empfehlen, und die hat er jetzt. --Altkatholik62 (Diskussion) 23:01, 5. Aug. 2017 (CEST)

@Altkatholik62: Jetzt habe ich doch drei meiner Lieblings-Belege eingebaut, als Sofortmaßnahme. Aber wie gesagt gibt es noch einiges zu tun, und ich komme nicht sofort dazu. Viele Grüße. --GroupCohomologist (Diskussion) 23:06, 5. Aug. 2017 (CEST)