Diskussion:Lorentzfaktor

Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Ist die Lichtgeschwindigkeit c im Lorenzfaktor und in der Äquivalenz von Masse und Energie von einem Medium abhändig oder reden wir immer von der Lichtgeschwindigkeit. Wenn ja dann müsste man statt c c₀ schreiben und der Lorenzfaktor hieße dann

${\sqrt {1-\left({\frac {v}{c_{0}}}\right)^{2}}}\!\,$

--Telli 17:48, 29. Nov. 2007 (CET)

Hallo. Ich wäre dafür, den Quotienten v/c statt x wie allgemein üblich mit beta zu bezeichnen...

Entwicklungspunkt Taylorreihe

Welcher Entwicklungspunkt a wurde denn für die Taylorreihe verwendet? Eine genauere Erläuterung wäre vielleicht gut.

Hallo 82.83.59.193, hier geht's nur um das Prinzip. Siehe nach bei Taylorreihe für eine mathematisch korrekte Formulierung. Dein "a" ist hier 1. Berklas 21:01, 25. Aug. 2008 (CEST)

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• In vielen Fällen (Beispiel: kinetische Energie) erhält man die klassische Näherung für kleine Geschwindigkeiten, wenn man γ als Taylor-Reihe entwickelt und nach dem zweiten Glied abbricht.

Mit $\beta$ = v/c gilt für kleine $\beta$:

• $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\;\approx \;1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+O(\beta ^{6})$

Da stellen sich mir doch ein paar Fragen:

• Was heisst denn hier klassische Näherung? In der kassischen, d.h. der Newtonschen Physik gibt es gar keine Längen- oder Zeitdillation, d.h. der Lorentzfaktor ist immer 1.

• Was bedeutet $O(\beta ^{6})$ ?

• Wieso steht da: Mit $\beta$ = v/c gilt für kleine $\beta$:, wenn die Tailorreihe dann überhaupt nicht nach v sondern nach $\beta$ etwickelt wird. Für die Reihenentwicklung ist es völlg irrelevant, wie $\beta$ definiert ist.

• Wieso wird hier überhaupt dieses $\beta$ eingeführt und nicht gleich nach v entwickelt?

• Wieso sollte man den einfachen Ausdruck $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ an dieser Stelle überhaupt in eine Taylorreihe entwicken wollen? Dadurch wird ja nichts vereinfacht, im Gegenteil es ist ziemlich aufwändig die Taylorreihe zu entwickeln. Und es bringt rein gar nichts.

• Wieso soll man die Entwicklung ausgerechnet nach dem zweiten Glied abbrechen? Bei kleinem $\beta$ ist ${\frac {1}{2}}\beta ^{2}$ bei "klassischen Geschwindigkeiten" doch bereits vernachlässigbar klein. Selbst bei bereits deutlich relativistischen Geschwindigkeiten von einer Million km/h trägt das zweite Glied nur noch 1/2'000'000 zum Gesamtergebnis bei! Man kann also für eine "klassische Näherung" getrost nach dem ersten Glied abbrechen - und dann steht eben nur noch $\gamma =1+...\approx 1$ da. Wenn man nach dem zweiten (oder dritten, oder viertem .. etc) Glied abbricht, bekommt man nicht mehr die "klassische" Näherung, sondern bereits eine relativistische Näherung!

Fazit

Die Taylorreihenentwickung scheint hier wirklich fehl am Platze zu sein und macht nur alles viel komplizierter, es wird ohne ersichtlichen Grund eine neue Definition eingeführt ($\beta ={\frac {v}{c}}$), es wird für die "klassische Näherung" beim falschen Glied abgebrochen (und für eine relativistische Näherung darf man nicht unbedingt nach dem zweiten Glied schon abbrechen) - kurzum, ich hab' das Ding rausgenommen und stattdessen kurz auf den Fall v=0 und die Näherung $\textstyle \gamma \approx 1$ für $\textstyle v\ll c$ hingewiesen.

Mschcsc 13:35, 18. Jan. 2009 (CET)

P.S.: Noch was, der Vollständigkeit halber. das "a" für die Tailorreihenentwicklung ist hier natürlich nicht 1 sondern 0.

Mschcsc 14:01, 18. Jan. 2009 (CET)

Hallo Mschcsc, es ist zwar schon einiges an Zeit vergangen, aber trotzdem noch zu Deinen Fragen:

• Was heißt klassische Näherung? – Damit ist üblicherweise gemeint, dass man zwar die nicht-klassischen Formeln benutzt, aber in diese Formeln solche Werte einsetzt, wie sie in der klassischen Physik vorkommen (d. h. in diesem Fall Geschwindigkeiten, die sehr viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit). Wenn man dann für die nicht-klassischen Formeln eine Taylorentwicklung macht und die Reihe beim geeigneten Glied abbricht, erhält man gerade die klassische Formel. Dasselbe funktioniert übrigens nicht nur in der Relativitätstheorie, sondern auch in der Quantentheorie. Man kann sagen: Die klassische Physik verhält sich so, als sei die Lichtgeschwindigkeit unendlich groß und das Wirkungsquantum unendlich klein (also null). Tatsächlich ist die Lichtgeschwindigkeit viel größer als alle Geschwindigkeiten, die wir im täglichen Leben und in klassischen Experimenten beobachten, und das Wirkungsquantum ist viel kleiner als alle Wirkungen, die wir im täglichen Leben und in klassischen Experimenten beobachten, aber beide sind endlich groß bzw. klein.
• Was bedeutet O(β⁶)? – Das meint irgendeinen Term, der proportional zu β⁶ ist. Vorfaktoren und weitere Proportionalitätskonstanten werden hierbei einfach weggelassen. (Genaueres findet man unter Landau-Symbole.) Das bedeutet: Wenn β bereits viel kleiner als eins ist, dann ist β⁶ noch viel, viel kleiner als eins, sodass es in guter Näherung vernachlässigt werden kann.
• Warum ist es wichtig, wie β definiert ist? – Weil durch die Definition klar wird, dass β nur zwischen null und eins liegen kann. Die Geschwindigkeit eines Körpers kann niemals größer als die Lichtgeschwindigkeit sein, sodass β niemals größer als eins sein kann. Der klassische Fall entspricht gerade v ≪ c, also β ≪ 1. Für die Reihenentwicklung spielt das in der Tat keine Rolle, wohl aber für die Tatsache, dass man die Reihe abbrechen kann und dann nur einen sehr, sehr kleinen Fehler macht.
• Wieso wird nach β und nicht nach v entwickelt? – Siehe oben: Im Falle von β erkennt man sehr leicht, dass es niemals größer als eins sein kann und im klassischen Fall sogar sehr viel kleiner ist. Außerdem ist β eine einheitenlose Größe, was immer praktisch ist. So ist β also nur ein Hilfskonstrukt, aber es macht die Rechnung einfacher und übersichtlicher.
• Was bringt die Taylorreihe? – Genau dasselbe, was jede Taylorreihe bringt: Die Möglichkeit, sie nach einem geeigneten Glied abzubrechen! Wenn es ums praktische Rechnen geht, ist das fast immer der Grund, warum man Funktionen in Taylorreihen entwickelt.
• Wieso bricht man die Taylorreihe nach dem zweiten (und nicht schon nach dem ersten) Glied ab? – Weil man so die bekannte Formel für die kinetische Energie aus der klassischen Physik erhält. Wenn man schon nach dem ersten Glied abbricht, erhält man nur die Formel E = mc², die zwar sehr berühmt ist, die aber in der klassischen Physik überhaupt keine Entsprechung und damit keinen anschaulichen Wert hat.
  $E=\gamma mc^{2}={\sqrt {\frac {1}{1-\beta ^{2}}}}mc^{2}=\left(1+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\beta ^{2}+\ldots \right)mc^{2}=mc^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}mc^{2}+\ldots =mc^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}mv^{2}+\ldots$
  Der erste Summand bleibt in der klassischen Physik verborgen, und er spielt auch keine Rolle, weil die klassische Physik keine Prozesse kennt, die Masse in Energie umwandeln. Der zweite Summand ist die klassische kinetische Energie. Der ganze Rest kann vernachlässigt werden, weil er (unter der Voraussetzung v ≪ c) sehr, sehr klein ist. Solange man also nur die klassische Physik kennt, ist die Formel für die kinetische Energie ein eigenständiges Naturgesetz. Wenn man aber die Relativitätstheorie betrachtet, stellt sich heraus, dass die kinetische Energie eigentlich bereits ein relativistischer Effekt ist. Dieser Effekt ist einerseits klein (weil β² klein ist), aber mc² ist andererseits so riesig, dass das resultierende Produkt 1/2 β² mc² nicht (!) vernachlässigt werden kann: Es ist die ganz normale, klassische kinetische Energie.

Nichts für ungut, aber durch die Vereinfachung ist das wirklich Interessante an der ganzen Sache verloren gegangen: Aus der Formel für die relativistische Energie erhält man in klassischer Näherung die Formel für die kinetische Energie (plus einen weiteren sehr großen, aber im klassischen Fall nicht interpretierbaren Summanden mc²). --78.49.142.85 21:29, 6. Dez. 2013 (CET)

Zeitliche Ableitung von $\gamma$

So ist das falsch!!! Als ich den Absatz geschrieben hab, hab ich leider einen (Anfänger-)Fehler gemacht. Aber so, wie es jetzt verbessert wurde, wäre ${\frac {d}{dt}}\gamma$ ein Vektor - das macht keinen Sinn... --2003:54:AF25:CD01:4179:8FBE:8FB9:E667 21:55, 2. Mär. 2014 (CET)

  Es gibt 2 mögliche Faktoren. Welcher richtig ist, kann nur ein gutes Experiment entscheiden.

Wenn man die Kraft anders definiert als Newton, führt die Integralgleichung zu einem anderen Faktor. Für F=m*a erhält man: e hoch (v quadrat/2c quadrat) Für v=c erhält man dann 1,6487. Für F=dp/dt erhält man den Lorentzfaktor. (nicht signierter Beitrag von93.196.151.105 (Diskussion) 22:53, 15. Nov. 2014 (CET))

Wenn man etwas falsch macht, erhält man ein falsches Ergebnis? Das ist nicht sonderlich überraschend. Wir leben einfach nicht in einem solchen Universum. --mfb (Diskussion) 13:12, 16. Nov. 2014 (CET)

Lorentzfaktor bei Beschleunigungen

Im Text steht folgendes: ${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {p}}$. Leider wird nirgendwo erklärt, was das ${\mathrm {d} }$ für eine Variable ist und wieso sich diese nicht rauskürzt obwohl sie im Zähler und Nenner vorkommt. Bitte um Erklärung für Laien. Bundesstefan @ 07:32, 22. Apr. 2016 (CEST)

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$ ist eine Ableitung. Die Notation ist absolut Standard und wer keine Ableitungen kennt wird mit dem Abschnitt ohnehin nichts anfangen können. --mfb (Diskussion) 21:40, 22. Apr. 2016 (CEST)

Schlechter Artikel

Ein typischer Wikipedia-Artikel voller nutzloser "Klugscheißereien" aber ohne jede Substanz. a.) Wenn v<<c, dann Lorentzfaktor geht gegen 1. Jeder kann sich das extremst leicht selber ausrechnen. Wer's nicht selber rechnen kann, dem hilft diese ganze Angabe auch nichts! Was bedeutet denn gamma=1? Das ist nirgends geschrieben! b.) Als erster Satz steht, der Lorenzfaktor beschriebe die Zeitdeletation. Wo steht denn die Formel dazu? Wieso ist denn genau dieses wichtigste Beispiel, nämlich die Berechnung der Zeitdiletation mit dem Lorenzfaktor (das ist sein einziger Sinn und Zweck) unterschlagen worden? So ist der Artikel völlig nutzlos: Klugscheißerei von Leuten für Leute, die es eh schon wissen, um sich mit irgendwelchen Spitzfindigkeiten zu profilieren, nicht aber, um zu nützen. Schaut euch mal den englischen Artikel dazu an, da könnt ihr lernen, wie man sowas richtig macht. (nicht signierter Beitrag von 77.7.214.222 (Diskussion) 12:49, 23. Apr. 2018)

Wir sind nicht deine Angestellten. Der Artikel existiert seit 10 Jahren und ist nicht gesperrt. Mach et selbs! --Logo 12:58, 23. Apr. 2018 (CEST)

Voight

der erste Entwickler des Lorentz-Faktors war ein Prof.Voight. --79.204.128.115 20:23, 29. Dez. 2023 (CET)

Herleitung

es wäre gut, eine Herleitung anzugeben

Es gibt sogar mehrere. Erste durch Voight, zweitens Lorentz und drittens Einstein. --79.204.133.158 07:44, 8. Jan. 2024 (CET)