Diskussion:Gerade (Begriffsklärung)

Definition nicht richtig (2004)

Die angegebene Definition ist kann nicht richtig sein:

• in der euklidischen Geometrie die kürzeste Verbindung zweier Punkte, die nach beiden Richtungen nicht durch Endpunkte begrenzt ist.

(Die kürzeste Verbindung ist nur ein Teil der Geraden, die Endpunkte sollen wohl andeuten, dass es weiter geht.)

Bevor ich etwas ändere: Vorschlag:

• Die Gerade bildet in der euklidischen Geometrie die kürzeste Verbindung beliebiger Paare auf ihr liegender voneinander unterschiedlicher Punkte.

Dabei ist die Frage: Ist das Wort "euklidisch" hier zutreffend? Oder gilt die Definition auch in der nichteuklidischen Geometrie oder in Teilen derselben? --Hutschi 14:19, 2. Apr 2004 (CEST)

"Es ist offensichtlich, dass diese Begriffserklärung dem Exaktheitsanspruch der Mathematik nicht genügt. Beim axiomatischen Aufbau der Geometrie verzichtet man daher auf eine explizite Definition und verwendet stattdessen Punkt und Gerade als undefinierte Grundbegriffe, für die bestimmte Axiome gelten."

Leider konnte ich die bestimmten Axiome für die Gerade nicht finden. Aber wenn man:

• "Liegen zwei voneinander verschiedene Punkte auf der Geraden, so bildet der zwischen ihnen liegende Geradenabschnitt die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten;" als Grundvorraussetzung nimmt quasi als Axiom, dann kann man Geraden durchaus auch in anderen als euklidischen Räumen finden.

Zuerst stellt sich mir die Frage, wie die Länge des Geradenstücks zu bestimmen ist. Dazu bietet sich die Metrik (d) an, die laut Definition den Abstand zwischen 2 Punkten (x und y) im Raum (R) angibt. Dabei ist zu klären, unter welchen Umständen der so bestimmte Abstand gleich der Länge der kürzesten Verbindung ist.

Konkret heißt das, unter welchen Umständen ist das Minimum der Länge aller Wege in R die von x nach y führen = d(x,y). Damit das der Fall ist, muß die Metrik die Dreiecksungleichung erfüllen. Denn ansonsten könnte für 3 Punkte x,y und z in R gelten :

• d(x,z) > d(x,y) + d(y,z)

Angenommen d gibt die Länge des kürzesten Weges an. G soll die Gerade sein. Dann ist jeder andere Weg von x nach y länger als d(x,y). Die Wege von x nach y und von y nach z führen aber auch von x nach y. Also sollte d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) sein.

Also wenn man von metrischen Räumen ausgeht in denen die Dreiecksungleichung gilt, dann kann man die Gerade, die durch 2 Punkte geht erklären, als die Menge von Punkten, so dass zu 3 Punkten immer der längste Abstand gleich der Summe der beiden anderen Abständen ist. Bzw (o.B.d.A soll y zwischen x und z liegen) :

• d(x,z) = d(x,y) + d(y,z)

Mein Vorschlag ist also die Definition auf metrische Räume zu erweitern, indem die Metrik als Maß für die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten interpretiert wird. Inwieweit die Beschreibung, die ich hier nur skizzieren konnte, mit unserer Vorstellung von einer Geraden übereinstimmt will ich noch weiter untersuchen.

Eine Verallgemeinerung auf allgemein metrische Räume kann ich mir vorstellen. (d.h. Räume mit einer Metrik, die nicht unbedingt alle 3 Axiome des metrischen Raums erfüllen. Bei solch einer Metrik muß nur 0 <= d(x,y) < inf gelten.) Allerdings ist mir noch nicht klar wie man dort den kürzesren Abstand zwischen 2 Punkten bzw die Länge einer Wegstrecke messen kann.

--(nicht signierter Beitrag von 217.225.200.59 (Diskussion) 17:18, 14. Sep. 2004‎ (CEST))