Diskussion:ARMA-Modell

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Undefinierte Zeichen

Die in den Formeln verwendeten Zeichen werden nicht vorher definiert. Das macht das ganze zum rätselraten für jeden, der nicht aus der Ecke kommt. Weiter unten werden dann einige Zeichen definiert, aber das ist trotzdem alles sehr schwammig. (nicht signierter Beitrag von 130.149.41.158 (Diskussion) 10:12, 19. Jan. 2007‎‎ (CEST))

Dies berechtigte Kritik wurde bereits 2007 geäußert, ohne dass sich Autoren angesprochen fühlen. Bereits der erste Buchstabe y ist unerklärt. Ist es ein beobachteter Wert, ist es eine Zufallsvariable? Welche Bedeutung hat der Index t? usw.--Sigma^2 (Diskussion) 11:16, 5. Sep. 2023 (CEST)

Zusammenhang ARMA und Faltung

Ich fände es nett den Zusammenhang mit Faltungen heruas zu arbeiten. --Ostrowsk 11:10, 14. Jul. 2007 (CEST)

Impulsantwort

Und wenn ich weiter denke ist das ARMA-Modell also die $a_{i}$ und $b_{j}$ nichts anderes als die Impulsantwort?! --Ostrowsk 11:10, 14. Jul. 2007 (CEST)

Ja. Sixstringsdown 16:12, 27. Jan. 2009 (CET)

Prognosemodelle

"Die Prognosemodelle der Wirtschaftsinstitute und Banken sind in der Regel aus ARMA-Modellen zusammengesetzt."

Ich halte diesen Satz für falsch. In den mir bekannten Anwendungsbereichen kommen vor allem multivariate Modelle zum Einsatz (auch wenn die in Bezug auf die Prognosequalität nicht unbedingt besser sind). Es lässt sich sicher ein Bezug zu ARMA-Modellen herstellen, aber in der aktuellen Fassung ist der Satz irreführend. Die Aussage sollte präzisiert oder gestrichen werden. --Freispiel 16:09, 23. Aug. 2008 (CEST)

Invertierbarkeit

Die aus der (verteilungs)-stationarität folgende Invertierbarkeit und entsprechende Darstellung von Arma-Prozessen sollte zumindestens angesprochen werden. Vielleicht mache ich mich ja mal auf. Sixstringsdown 16:12, 27. Jan. 2009 (CET)

Summenindex des MA-Teils

Bei der Vorstellung des MA-Prozesses steht der Index bei j=0, im ARMA-Modell dann aber j=1, wobei auch hier j=0 sein sollte. (nicht signierter Beitrag von 83.22.55.48 (Diskussion | Beiträge) 12:03, 8. Mai 2009 (CEST))

Das sollte kein Problem sein, da der Summand mit Index 0 ja separat auftaucht. Bleibt die Frage, ob der Koeffizient passt. Aber hier vermute ich, dass es Standardtricks gibt, wie man diesen normiert. FabianHH 21:49, 4. Nov. 2010 (CET)

Verbessern

In die lange Reihe der Meckerköppemöcht ich mich auch kurz einreihen. [ARMA-Modell#Auto-Regression der Satz]: Anders beim Auto-Regressionsteil: Hier ist Y_t deterministisch von der Vergangenheit abhängig. dürfte falsch sein, steht da doch ein ε drinne,oder nicht!?
Leider bin (auch) ich nicht fit genug, um da was zu ändern. --Pinoccio 22:10, 12. Jun. 2010 (CEST)

Hallo, ich habe vor ein paar Jahren Mathematik studiert. Bisher war es (fast) immer so, dass ich mich mit Hilfe der Wikipedia-Artikel in neue Themengebiete einarbeiten konnte. Es ist nicht immer alles richtig. Wenn man allerdings über die Dinge etwas nachdenkt, weiß man, wie es gemeint ist. Und nachdenken ist ja das, was ich im Studium gelernt habe. Im Studium habe ich mich vor Stochastik immer gut drücken können. Das Fach interessierte mich nicht. Beruflich ist es jetzt notwendig. Die Wikipedia ist kein Lehrbuch - das ist mir klar. Aber ich denke, wenn ein Diplom-Mathematiker nach der Lektüre eines mathematischen Artikels zu einem zentralen Begriff des Fachgebiets fast planlos ist, so ist das kein gutes Zeichen für den Artikel. Leider verstehe ich von Stochastik noch zu wenig, habe zu wenig Erfahrung, als dass ich den Artikel wesentlich verbessern könnte. Ich bitte die hier anwesenden Stochastiker eindringlich, sich dieses Artikels anzunehmen - oder mich darüber aufzuklären, dass ARMA-Modelle in der Stochastik unwichtig sind. FabianHH 22:03, 4. Nov. 2010 (CET)

Variablen definieren/erklären ein Luxus

Gleich im ersten Abschnitt MA -Modell werden mehrere Variablen verwendet ohne deren Bedeutung zu erklären, nur m wird erklärt. Was ist b, epsilon? Könnte wer, der das versteht, ausbessern/hinzufügen. Danke (nicht signierter Beitrag von Autefix (Diskussion | Beiträge) 13:03, 22. Okt. 2011 (CEST))

Zumindest im ersten Abschnitt stehen nun Erklärungen biggerj1 (Diskussion) 20:43, 24. Aug. 2021 (CEST)

Zur "Reinen MA-Darstellung"

Wenn die Nullstellen des Polynoms a() wie angegeben größer als 1 sind, dann ist die Lösung nicht stabil, das heißt, die unendliche Summe auf der rechten Seite konvergiert nicht. Es muss also heißen: |z|<1. --GeorgQuaas (Diskussion) 18:49, 2. Mai 2022 (CEST)

Das ist jetzt leider genauso wenig belegt, wie die Aussage im Text. Im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen ist der Begriff stabil unklar. Ein AR-Prozess mit der Gleichung

$Y_{t}=aY_{t-1}+\epsilon _{t}$

lässt sich durch rekursives Ersetzen formal schreiben als

$Y_{t}=\epsilon _{t}+a\epsilon _{t-1}+a^{2}\epsilon _{t-2}+\dots \,.$

Was jetzt dabei erlaubt oder nicht erlaubt ist, bzw. geht oder nicht geht, müsste erstmal erläutert werden. Wenn die $MA(\infty )$-Darstellung für irgendwelche $a\in \mathbb {R}$ nicht zulässig ist, stellt sich die Frage, was dann durch die Gleichung $Y_{t}=aY_{t-1}+\epsilon _{t}$ überhaupt definiert ist, falls $t\in \mathbb {Z}$ gesetzt wird.
Im Fall $t\in \mathbb {N} _{0}$ mit einem Startwert $y_{0}\in \mathbb {R}$ und $P(Y_{0}=y_{0})=1$, ist durch $Y_{t}=aY_{t-1}+\epsilon _{t}$ ein diskreter stochastischer Prozess $(Y_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}$ für alle $a\in \mathbb {R}$ wohldefiniert. Die Frage, wann der Prozess stationär ist, ist eine andere Frage.

--Sigma^2 (Diskussion) 20:50, 13. Aug. 2023 (CEST)

Prozesse und Modelle

Ein ARMA-Modell dient zur Charakterisierung bestimmter Klassen diskreter stochastischer Prozesse, die dann ARMA-Prozesse genannt werden. Solche ARMA-Prozesse können als Gauß-Prozesse spezifiziert sein oder es interessieren nur die Verteilungseigenschaften zweiter Ordnung, dann sind sie häufig nur als Prozess zweiter Ordnung mit spezieller Erwartungswertfunktion und Autokovarianzfunktion spezifiziert. Häufig interessieren für bestimmte Anwendungen nur stationäre ARMA-Prozesse. Zu ARMA-Prozessen und deren Eigenschaften enthält der Artikel fast nichts. Vielleicht ist ist es besser, weitere Artikel, z. B. AR-Prozesse, MA-Prozesse, ARMA-Prozesse anzulegen, als den Artikel AMRMA-Modell aufzublähen.--Sigma^2 (Diskussion) 10:58, 5. Sep. 2023 (CEST)

Spezielle ARMAX-Modelle

Es gibt Löschanträge für die verwaisten rudimentären Artikel Interventionsmodell und Transferfunktionsmodell, die beide Spezialfälle von ARMAX-Modellen behandeln. Da sich die Autoren dieser Artikel nicht rühren, ist eine Löschung nicht unwahrscheinlich. Ich rette hierhin Kopien der Artikel und der zugehörigen Diskussion.

Interventionsmodelle

Interventionsmodelle gehören wie die Ausreißer- und die Transferfunktionsmodelle zu den univariaten Zeitreihenmodellen, mit denen das Auftreten auffälliger Beobachtungswerte modelliert werden kann. Beim Interventionsmodell wird davon ausgegangen, dass der Zeitpunkt t, in dem der auffällige Beobachtungswert auftritt, bekannt ist. Es kann dabei unterschieden werden in Interventionen, die

• einmalig,
• für unbestimmte Dauer oder
• für bestimmte Dauer

auftreten.

Dieses wird mit Hilfe einer Indikatorfunktion I modelliert. Zusätzlich ist noch die Stärke bzw. Dauer der Wirkung zu modellieren. Dies erfolgt mit einem Lag-Operatorpolynom, dass auch als Impuls-Antwort-Funktion bezeichnet wird. Es bestimmt, ob die Wirkung der Intervention mit der Zeit abklingt, verstärkt wird oder gleich bleibend ist. Eine mögliche formale Notation wäre:

$Y_{t}=\nu (L)I_{t}+{\frac {\Theta _{q}(L)}{\Phi _{p}(L)}}Z_{t}$.

Dabei ist ${\tfrac {\Theta _{q}(L)}{\Phi _{p}(L)}}Z_{t}$ der ARMA-Teil bzw. das Rauschmodell, $I_{t}$ ist die Indikatorfunktion und $\nu (L)$ die Impuls-Antwort-Funktion. Die Impuls-Antwort-Funktion

$\nu (L):={\frac {\omega (L)}{\delta (L)}}L^{d}$

hat im Nenner das Polynom $\delta (L)$, welches den permanenten Effekt der Intervention modelliert. Das Polynom im Zähler $\omega (L)$ stellt den erwarteten Initialeffekt dar.

Eine Zeitreihe kann auch von mehreren, zu verschiedenen Zeitpunkten auftretenden Interventionen unterschiedlichen Typs betroffen sein. Dieses wird als multiples Interventionsmodell bezeichnet. Die Schätzung des gesamten Modells kann mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden. Zuvor muss das Rauschmodell als auch die Impuls-Antwort-Funktion identifiziert werden. Dabei muss man auf Sachkenntnis zur beobachteten Zeitreihe zurückgreifen. Stehen mehrere mögliche Modelle zur Auswahl kann man mit Hilfe eines Selektionskriteriums das geeignete Modell auswählen.

Diskussion: Interventionsmodelle

Der Artikel sollte überarbeitet, gegliedert und erweitert werden.

• Es fehlen generell Belege und Literaturangaben.
• Es scheint sich um ein spezielles eindimensionales ARMAX-Modell zu handeln, ohne dass dieser Zusammenhang geklärt wird.
• Wer spricht von einem Interventionsmodell?
• $L^{d}$, insbesondere $d$ ist nicht erklärt.

Transferfunktionsmodell

Unter einem Transferfunktionsmodell wird in der Zeitreihenanalyse ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable $Y_{t}$ außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen $Z_{t}$ von weiteren beobachtbaren Variablen $X_{m}t$ dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu Vektorprozessen finden nur ein Einfluss der $X_{m}t$ auf $Y_{t}$ statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:

$Y_{t}=\nu (L)X_{t}+{\frac {\Theta (L)}{\Phi (L)}}Z_{t}$

Dabei ist $X_{t}$ die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die Indikatorfunktion (nur 0 und 1). $Y_{t}$ kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. $Y_{t}=\nu (L)$ wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der Impuls-Antwort-Funktion des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist stabil, wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das Modell heißt kausal, wenn $Y_{t}$ keine vorlaufende Funktion von $X_{t}$ ist. X ist bezüglich Y exogen, und es gibt keine Feedback-Beziehung von Y zu X.

Zur Identifikation des Modells wird auf das Instrument der Kreuzkorrelationsfunktion zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur Autokorrelationsfunktion nicht symmetrisch um l. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:

$\rho (l)={\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}[\nu _{0}\rho _{X}(l)+\nu _{1}\rho _{X}(l-1)+\nu _{2}\rho _{X}(l-2)+...]$.

Das hier zu lösende simultane Gleichungssystem ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:

$\nu ={\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho _{XY}(l)$.

Damit wäre $\nu _{l}$ proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten $\rho _{XY}(l)$. Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser weißes Rauschen wird. Bei der als „Vorweißen“ genannten Transformation wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe $X_{t}$ als ARMA-Prozess aufgefasst wird:

$\Phi _{Y}(L)X_{t}=\Theta _{X}(L)\alpha _{t}$. Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:

$\alpha _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}X_{t}$

Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable $Y_{t}$ angewandt werden:

$\beta _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}Y_{t}$.

Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:

$\beta _{t}=\nu (L)\alpha _{t}+\varepsilon _{t}$ auffassen. $\alpha _{t}$ ist dabei weißes Rauschen. $\beta _{t}$ und $\varepsilon _{t}$ sind in der Regel kein weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:

$\nu ={\frac {\sigma _{\beta }}{\sigma _{\alpha }}}\rho _{\alpha \beta }(l)$.

Mit diesem Ergebnis kann die Schätzung wie im ARMA-Modell erfolgen.

Diskussion:Transferfunktionsmodell

Unbelegt und unvollständig

Der Artikel sollte überarbeitet, gegliedert und erweitert werden.

• Es fehlen generell Belege und Literaturangaben.
• Es scheint sich um eine andere Schreibweise für eindimensionales ARMAX-Modell zu handeln, ohne dass dieser Zusammenhang geklärt wird.
• Wer spricht von einem Transferfunktionsmodell?
• In den beiden ersten Einleitungssätzen wird zweimal das Symbol $X_{m}t$ (Schreibfehler?) verwendet, das später nicht mehr auftaucht.
• Die Lag-Polynome $\Theta (L)$ und $\Phi (L)$ sind nicht erklärt, noch nicht einmal als solche bezeichnet und verlinkt.

Fehlerhaft

„$Y_{t}=\nu (L)$ wird als Transferfunktion bezeichnet.“ Was soll dieser Satz bedeuten? Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Zufallsvariable und auf der rechten Seite ein Lagoperator-Polynom.

--Sigma^2 (Diskussion) 22:26, 30. Jan. 2024 (CET)

Linearer stochastischer Prozess

Es gibt die Weiterleitung linearer stochastischer Prozess auf den Artikel ARMA-Modell. Der Begriff wird gefettet in der Einleitung verwendet, aber nicht im Artikel. Es gibt keine Definition eines linearen stochastischen Prozesses im Artikel.--Sigma^2 (Diskussion) 22:48, 30. Jan. 2024 (CET)