Diskrete orthogonale Polynome
Bearbeiten
Sei
S
∈
N
∪
{
∞
}
{\displaystyle S\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}
,
(
a
n
)
:=
(
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
)
{\displaystyle (a_{n}):=(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}
eine positive Folge, d. h.
a
i
>
0
∀
i
{\displaystyle a_{i}>0\;\forall i}
,
(
s
n
)
:=
(
s
0
,
s
1
,
s
2
,
…
)
{\displaystyle (s_{n}):=(s_{0},s_{1},s_{2},\dots )}
eine Folge reeller Zahlen, welche den Träger bilden werden,
δ
s
i
{\displaystyle \delta _{s_{i}}}
das Diracmaß , so dass alle Singletons
{
s
i
}
{\displaystyle \{s_{i}\}}
in einer σ-Algebra
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
enthalten sind.
Nun definieren wir ein diskretes Maß auf
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
μ
=
∑
n
=
0
S
a
n
δ
s
n
{\displaystyle \mu =\sum \limits _{n=0}^{S}a_{n}\delta _{s_{n}}}
mit endlichen Momenten (d. h.
E
μ
[
|
X
|
n
]
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} _{\mu }[|X|^{n}]<\infty }
für alle
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=1,2,\dots }
).
Für die
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
lässt sich eine Gewichtsfunktion
ω
:
R
→
R
≥
0
{\displaystyle \omega :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}
durch
ω
(
s
n
)
=
a
n
{\displaystyle \omega (s_{n})=a_{n}}
definieren.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir nun als Träger
s
n
:=
n
{\displaystyle s_{n}:=n}
für alle
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
S
{\displaystyle n=0,1,2,\dots ,S}
und erhalten somit
ω
(
n
)
=
a
n
{\displaystyle \omega (n)=a_{n}}
.
Diskrete orthogonale Polynome
Bearbeiten
Eine Familie von orthogonalen Polynome
{
p
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{p_{n}(x)\}}
heißt diskret , wenn sie orthogonal bezüglich eines diskreten Maßes
μ
{\displaystyle \mu }
mit Gewichtsfunktion
ω
(
x
)
{\displaystyle \omega (x)}
sind, das heißt wenn
∑
x
=
0
S
p
n
(
x
)
p
m
(
x
)
ω
(
x
)
=
κ
n
δ
n
,
m
{\displaystyle \sum \limits _{x=0}^{S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)=\kappa _{n}\delta _{n,m}}
erfüllt ist, wobei
δ
n
,
m
{\displaystyle \delta _{n,m}}
das Kronecker-Delta bezeichnet.[1]
M
n
(
x
;
β
,
c
)
=
2
F
1
(
−
n
,
−
x
β
|
1
−
1
c
)
,
{\displaystyle M_{n}(x;\beta ,c)={}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}-n,-x\\\beta \end{matrix}}{\bigg \vert }1-{\frac {1}{c}}\right),\quad }
S
=
∞
,
{\displaystyle S=\infty ,\quad }
ω
(
x
)
=
(
β
)
x
x
!
c
x
{\displaystyle \omega (x)={\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x}\quad }
und
κ
n
=
n
!
(
1
−
c
)
−
β
c
n
(
β
)
n
,
{\displaystyle \quad \kappa _{n}={\frac {n!(1-c)^{-\beta }}{c^{n}(\beta )_{n}}},}
wobei die Orthogonalität nur für
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
und
0
<
c
<
1
{\displaystyle 0<c<1}
gilt.
C
n
(
x
;
a
)
:=
2
F
0
(
−
n
,
−
x
−
|
−
1
a
)
,
{\displaystyle C_{n}(x;a):={}_{2}F_{0}\left({\begin{matrix}-n,-x\\-\end{matrix}}{\bigg \vert }-{\frac {1}{a}}\right),\quad }
S
=
∞
,
{\displaystyle S=\infty ,\quad }
ω
(
x
)
=
a
x
x
!
{\displaystyle \omega (x)={\frac {a^{x}}{x!}}\quad }
und
κ
n
=
n
!
a
n
e
a
.
{\displaystyle \quad \kappa _{n}={\frac {n!}{a^{n}}}e^{a}.}
Wir definieren die Funktion
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
durch
ω
(
x
+
1
)
−
ω
(
x
)
=
−
u
(
x
+
1
)
ω
(
x
+
1
)
.
{\displaystyle \omega (x+1)-\omega (x)=-u(x+1)\omega (x+1).}
Betrachtet man allgemeine orthogonale Polynome mit einer Gewichtsfunktion
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
und die durch
v
(
x
)
=
exp
(
−
f
(
x
)
)
{\displaystyle v(x)=\exp(-f(x))}
definierte Funktion
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
, so entspricht
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
dem diskreten Pendant der Funktion
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
respektive
−
log
(
v
(
x
)
)
{\displaystyle -\log(v(x))}
.
Differenzengleichung
Bearbeiten
Es lässt sich beweisen, dass jedes diskrete orthogonale Polynom einer Differenzengleichung zweiter Ordnung genügt, wenn das Maß einen Träger über einer Halbgeraden mit äquidistanten Punkt besitzt (d. h. ein Gitter).[2]
Sei
{
p
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{p_{n}(x)\}}
eine Familie orthogonaler Polynome bezüglich eines diskreten Maßes
μ
{\displaystyle \mu }
mit Träger
T
=
{
s
,
s
+
1
,
s
+
2
,
…
,
t
}
⊂
R
,
s
∈
R
,
t
∈
R
∪
{
∞
}
.
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{s,s+1,s+2,\dots ,t\}\subset \mathbb {R} ,\quad s\in \mathbb {R} ,\;t\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}.}
Wir nehmen an, dass
p
n
{\displaystyle p_{n}}
gerade vom Grad
n
{\displaystyle n}
ist und die Gewichtsfunktion
ω
(
l
)
{\displaystyle \omega (l)}
normalisiert ist, d. h. es gilt
∑
l
=
s
t
p
m
(
l
)
p
n
(
l
)
ω
(
l
)
=
κ
m
δ
m
,
n
{\displaystyle \sum \limits _{l=s}^{t}p_{m}(l)p_{n}(l)\omega (l)=\kappa _{m}\delta _{m,n}\quad }
und
∑
l
=
s
t
ω
(
l
)
=
1.
{\displaystyle \quad \sum \limits _{l=s}^{t}\omega (l)=1.}
Weiter nehmen wir an, dass auf
R
∖
T
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus {\mathcal {T}}}
die Gewichtsfunktion
ω
(
l
)
{\displaystyle \omega (l)}
nicht konstant
0
{\displaystyle 0}
ist,
aber für die Randpunkt gilt
ω
(
s
−
1
)
=
0
{\displaystyle \omega (s-1)=0}
und
ω
(
t
+
1
)
=
0
{\displaystyle \omega (t+1)=0}
.
Weiter notieren wir mit
Δ
{\displaystyle \Delta }
den Differenzoperator
Δ
f
:=
f
(
x
+
1
)
−
f
(
x
)
.
{\displaystyle \Delta f:=f(x+1)-f(x).}
Die Funktion
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
haben wir im vorherigen Abschnitt definiert.
Aussage des Theorems
Bearbeiten
Sei
p
n
=
γ
n
x
n
+
…
{\displaystyle p_{n}=\gamma _{n}x^{n}+\dots }
ein diskretes orthogonales Polynom, welches die vorherigen Annahmen erfüllt. Dann gilt
Δ
p
n
(
x
)
=
A
n
(
x
)
p
n
−
1
(
x
)
−
B
n
(
x
)
p
n
(
x
)
{\displaystyle \Delta p_{n}(x)=A_{n}(x)p_{n-1}(x)-B_{n}(x)p_{n}(x)}
wobei
A
n
{\displaystyle A_{n}}
und
B
n
{\displaystyle B_{n}}
wie folgt definiert sind
A
n
(
x
)
=
γ
n
−
1
γ
n
κ
n
−
1
p
n
(
t
+
1
)
p
n
(
t
)
(
t
−
x
)
ω
(
t
)
+
γ
n
−
1
γ
n
κ
n
−
1
∑
l
=
s
t
p
n
(
l
)
p
n
(
l
−
1
)
u
(
x
+
1
)
−
u
(
l
)
(
x
+
1
−
l
)
ω
(
l
)
{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}{\frac {p_{n}(t+1)p_{n}(t)}{(t-x)}}\omega (t)+{\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}\sum \limits _{l=s}^{t}p_{n}(l)p_{n}(l-1){\frac {u(x+1)-u(l)}{(x+1-l)}}\omega (l)}
und
B
n
(
x
)
=
γ
n
−
1
γ
n
κ
n
−
1
p
n
(
t
+
1
)
p
n
−
1
(
t
)
(
t
−
x
)
ω
(
t
)
+
γ
n
−
1
γ
n
κ
n
−
1
∑
l
=
s
t
p
n
(
l
)
p
n
−
1
(
l
−
1
)
u
(
x
+
1
)
−
u
(
l
)
(
x
+
1
−
l
)
ω
(
l
)
.
{\displaystyle B_{n}(x)={\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}{\frac {p_{n}(t+1)p_{n-1}(t)}{(t-x)}}\omega (t)+{\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}\sum \limits _{l=s}^{t}p_{n}(l)p_{n-1}(l-1){\frac {u(x+1)-u(l)}{(x+1-l)}}\omega (l).}
Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable . Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 .
↑ J. Arvesú, J. Coussement und Walter Van Assche: Some discrete multiple orthogonal polynomials . In: Journal of Computational and Applied Mathematics . Band 153 , 2003, S. 19–45 .
↑ Mourad Ismail, Inna Nikolova und Plamen Simeonov, Plamen: Difference Equations and Discriminants for Discrete Orthogonal Polynomials . In: The Ramanujan Journal . Band 8 , 2005, S. 475–502 , doi :10.1007/s11139-005-0276-z .