Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Definition

In einer Kategorie seien zwei Morphismen $f,g\colon X\rightarrow Y$ gegeben. Ein Differenzkern von $f$ und $g$ ist ein Morphismus $i\colon Z\rightarrow X$ mit folgenden Eigenschaften:

• $f\circ i=g\circ i$ und
• zu jedem Morphismus $i'\colon Z'\to X$, für den $f\circ i'=g\circ i'$ gilt, gibt es genau einen Morphismus $c\colon Z'\to Z$, so dass $i'=i\circ c$.

${\begin{array}{ccccc}Z'&&&&\\\downarrow ^{c}&\searrow ^{i'}&&&\\Z&{\xrightarrow[{i}]{}}&X&{\underset {f}{\overset {g}{\rightrightarrows }}}&Y\\\end{array}}$

Beispiele

• In den Kategorien Set der Mengen, Top der topologischen Räume, $R$-Mod der Linksmoduln über einem Ring $R$ ist in der Situation obiger Definition die Inklusionsabbildung

$i\colon \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\hookrightarrow X$

ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist

$\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}=\{x\in X\mid (f-g)(x)=0\}$

automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz $f-g$ zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.

• In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition $g=0_{XY}$ der Nullmorphismus $X\rightarrow Y$, so ist ein Differenzkern von $f$ und $0_{XY}$ nichts anderes als ein Kern von $f$. Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

Bemerkungen

• Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition $i\colon Z\rightarrow X$ und ${\tilde {i}}\colon {\tilde {Z}}\rightarrow X$ zwei Differenzkerne von $f$ und $g$, so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus $c\colon {\tilde {Z}}\rightarrow Z$ mit ${\tilde {i}}=i\circ c$ gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit $\mathrm {ker} (f,g)$ bezeichnet.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt $Z$ den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen $f,g\colon X\rightarrow Y$ einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und $R$-Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set₂ der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.
• Differenzkerne sind Monomorphismen. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.
• Differenzkerne sind spezielle Limites, nämlich die von Funktoren ${\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ (auch ${\mathcal {I}}$-förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie ${\mathcal {I}}$ aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

Äquivalente Beschreibung

Ein Differenzkern zweier Morphismen $f,g\colon X\to Y$ in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt $i\colon \ker(f,g)\to X$ von $X$ beschrieben werden:

$\operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\cong \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))$

wobei

$\operatorname {Hom} (T,f)\colon \operatorname {Hom} (T,X)\to \operatorname {Hom} (T,Y)$

$\operatorname {Hom} (T,f)(t):=ft$

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in $T$ sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

$\varphi _{T}\colon \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\to \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))$

dann gilt für alle $a\colon T_{0}\to T$ und alle $t$ für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

$\varphi _{T_{0}}(ta)=\varphi _{T}(t)a$

Siehe auch

• Differenzkokern