Dehn-Twist

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Dehn-Twists bestimmte Selbstabbildungen von Flächen. Dehn-Twists wurden von Max Dehn eingeführt, der sie ursprünglich als „Schraubungen“ bezeichnete.

Definition

Sei $S$ eine orientierbare Fläche und $c\subset S$ eine einfache geschlossene Kurve. Sei $U$ eine Tubenumgebung von $c$, das heißt, wir haben einen Homöomorphismus $U\cong S^{1}\times \left[0,1\right]$, der $c$ auf $S^{1}\times \left\{1/2\right\}$ abbildet. Wir benutzen diesen Homöomorphismus, um $U$ durch Koordinaten $(e^{i\theta },t)$ mit $\theta \in \left[0,2\pi \right),t\in \left[0,1\right]$ zu parametrisieren.

Wir definieren dann eine Abbildung $t_{c}:U\rightarrow U$ durch

$t_{c}(e^{i\theta },t)=(e^{i(\theta +2\pi t)},t)$.

Weil $t_{c}$ auf $\partial U\cong S^{1}\times \left\{0,1\right\}$ mit der Identität übereinstimmt, können wir es auf $S\setminus U$ durch die Identitätsabbildung stetig fortsetzen und erhalten so einen Homöomorphismus $t_{c}:S\rightarrow S$, der als Dehn-Twist an der Kurve c bezeichnet wird.

Anmerkung: Die oben definierte Abbildung $t_{c}:S\rightarrow S$ hängt von der gewählten Umgebung und der gewählten Parametrisierung ab. Für andere Umgebungen und andere Parametrisierungen bekommt man mit dieser Konstruktion aber zueinander homotope Abbildungen. Die Homotopieklasse (Abbildungsklasse) von $t_{c}$ ist also wohldefiniert.

Beispiele

Longitude und Meridian des Torus.

Wir identifizieren den Torus mit $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$. Jede Matrix aus $SL(2,\mathbb {Z} )$ entspricht dann einer Selbstabbildung des Torus. (Die Matrix wirkt linear auf $\mathbb {R} ^{2}$ und bildet $\mathbb {Z} ^{2}$ nach $\mathbb {Z} ^{2}$ ab. Man kann zeigen, dass jeder orientierungserhaltende Homöomorphismus des Torus homotop zu einer solchen Abbildung ist.)

Die Matrizen $\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)$ und $\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}}\right)$ entsprechen dann den Dehn-Twists an Longitude und Meridian (also an den Bildern der x- und y-Achse.)

Abbildungsklassengruppe

Die Dehn-Twists an diesen 3g-1 Kurven (hier für g=3) erzeugen die Abbildungsklassengruppe.

Sei $S_{g}$ die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$ und $MCG(S_{g})$ ihre Abbildungsklassengruppe. Für $g=1$ (den Torus) ist $MCG(S_{1})\cong SL(2,\mathbb {Z} )$ und man kann mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus beweisen, dass $SL(2,\mathbb {Z} )$ von den Matrizen $\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)$ und $\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}}\right)$ erzeugt wird, also von den Dehn-Twists an Longitude und Meridian. Max Dehn bewies auch für alle $g\geq 2$, dass die Abbildungsklassengruppe $MCG(S_{g})$ von Dehn-Twists erzeugt wird. Lickorish zeigte, dass die im Bild rechts dargestellten $3g-1$ Dehn-Twists die Abbildungsklassengruppe erzeugen. Humphries bewies, dass für $g\geq 2$ die Abbildungsklassengruppe von $2g+1$ Dehn-Twists erzeugt wird und dass dies die kleinstmögliche Zahl von Erzeugern ist.

Verallgemeinerte Dehn-Twists

Sei $M$ eine symplektische Mannigfaltigkeit und $V\subset M$ eine Lagrangesche Sphäre. Nach einem Satz von Weinstein gibt es eine Umgebung $U\subset M$ von $V$, die symplektomorph zu einer Umgebung von $S^{n}$ im Kotangentialbündel $T^{*}S^{n}=\left\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{n+1}\times \mathbb {R} ^{n+1}\colon |u|=1,\langle u,v\rangle =0\right\}$ (mit der kanonischen symplektischen Struktur $\textstyle \sum _{j=1}^{n+1}du_{j}dv_{j}$) ist. Es genügt deshalb, verallgemeinerte Dehn-Twists für Umgebungen von $S^{n}$ in $T^{*}S^{n}$ zu definieren.

Die Funktion $\mu (u,v)=|v|$ ist glatt außerhalb des Null-Schnittes, ihr Hamiltonscher Fluss $\phi _{t}^{\mu }$ ist der normalisierte geodätische Fluss. Die Abbildung $\phi _{\pi }^{\mu }$ lässt sich auf den Null-Schnitt fortsetzen, weil alle Geodäten der Länge $\pi$ denselben Endpunkt haben. Die so definierte Abbildung $\tau _{V}:M\rightarrow M$ ist ein Symplektomorphismus und man kann sie so modifizieren, dass sie außerhalb einer kompakten Umgebung die Identität ist. Für $n\geq 2$ ist $\tau _{V}^{2}$ homotop zur Identität, während für $n=1$ (also für Dehn-Twists auf Flächen) die Dehn-Twists unendliche Ordnung in der Abbildungsklassengruppe haben.

Weblinks

Video zur Veranschaulichung von Dehn-Twists auf dem Torus

Literatur

• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. (= Princeton Mathematical Series. 49). Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012, ISBN 978-0-691-14794-9.