Carré-Du-Champ-Operator

Der Carré-Du-Champ-Operator (wörtlich Quadrat-des-Feldes-Operator) ist ein bilinearer, symmetrischer Operator aus der Analysis und der Stochastik. Der Carré-Du-Champ-Operator misst, wie weit ein Operator davon entfernt ist, eine Derivation zu sein.

Der Operator wurde erstmals 1969 von Hiroshi Kunita beschrieben und 1976 unabhängig von Jean-Pierre Roth in seiner Doktorarbeit wiederentdeckt.

Der Name "carré du champ" (Quadrat des (Vektor-)feldes) stammt aus der Elektrostatik.

Carré-Du-Champ-Operator einer Markow-Halbgruppe

Gegeben sei ein σ-endlicher Maßraum $(X,{\mathcal {E}},\mu )$ und eine Markow-Halbgruppe $\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ von nicht-negativen Operatoren auf $L^{2}(X,\mu )$.

Weiter sei $A$ der infinitesimale Generator von $\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ und ${\mathcal {A}}$ eine Algebra der Funktionen in der Domäne $D(A)$, das bedeutet ein Vektorraum der geschlossen unter Multiplikation ist. Es gilt also, wenn $f,g\in {\mathcal {A}}$, dann auch $fg\in {\mathcal {A}}$.

Carré-Du-Champ-Operator

Der Carré-Du-Champ-Operator der markowschen Halbgruppe $\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ ist der Operator $\Gamma :{\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to \mathbb {R}$ definiert (nach P. A. Meyer) durch

$\Gamma (f,g)={\frac {1}{2}}\left(A(fg)-fA(g)-gA(f)\right)$

für alle $f,g\in {\mathcal {A}}$.

Erläuterungen

Aus der Definition folgt

$\Gamma (f,g)=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {1}{2t}}\left(P_{t}(fg)-P_{t}fP_{t}g\right).$

Positivität

Für $f\in {\mathcal {A}}$ folgt aus $P_{t}(f^{2})\geq (P_{t}f)^{2}$ somit $A(f^{2})\geq 2fAf$ und

$\Gamma (f):=\Gamma (f,f)\geq 0,\quad \forall f\in {\mathcal {A}}.$

Domäne der Markow-Halbgruppe

Die Domäne ist definiert als

${\mathcal {D}}(A):=\left\{f\in L^{2}(X,\mu );\;\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}}{\text{ existiert und ist in }}L^{2}(X,\mu )\right\}.$

Carré-Du-Champ-Operator nach Roth

Sei $X$ ein lokalkompakter Raum und $A$ ein linearer Operator mit Domäne $D(A)\subset C_{0}(X)$ darauf.

Positives Maximumprinzip

$A$ erfüllt das positive Maximumprinzip, wenn für alle $f\in D(A)$ und $\forall x_{0}\in X$ mit

$f(x_{0})=\sup \limits _{y\in X}f(y)\geq 0$

gilt, dass

$Af(x_{0})\leq 0.$

Carré-Du-Champ-Operator

Sei $A$ nun ein Operator, der das positive Maximumprinzip erfüllt und dessen Domäne $D(A)$ dicht in $C_{0}(X)$ liegt. Außerdem sei $D(A)$ stabil gegenüber der Multiplikation, d. h.

$f,g\in D(A)\implies fg\in D(A).$

Dann ist der Carré-Du-Champ-Operator $\Gamma :D(A)\times D(A)\to C_{0}(X)$, der symmetrische bilineare Operator definiert durch

$\Gamma (f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f)\quad \forall f,g\in D(A).$

Literatur

• Paul-André Meyer: Séminaire de Probabilités X Université de Strasbourg. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics, Meyer, P.A. (eds). Band 511. Berlin, Heidelberg 1976, L'operateur carré du champ, S. 142–161, doi:10.1007/BFb0101102 (französisch). 
• Michel Ledoux: The geometry of Markov diffusion generators. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6. Band 9, Nr. 2, 2000, S. 305–366 (numdam.org).