In der Mathematik bezeichnet man als Brieskorn-Mannigfaltigkeit die -dimensionale Mannigfaltigkeit, die als Schnittmenge der im durch die Gleichung

(mit ganzen Zahlen )

gegebenen Hyperfläche mit einer durch die Gleichung

(für ein kleines )

gegebenen -Sphäre um den Nullpunkt (die Singularität der Hyperfläche) gegeben ist.

Brieskorn-Mannigfaltigkeiten sind -zusammenhängend, für sind sie also genau dann homöomorph zur , wenn sie eine Homologiesphäre sind. Man spricht dann von Brieskorn-Sphären. Brieskorn gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung, wann eine Brieskorn-Mannigfaltigkeit eine Homologiesphäre und damit eine Sphäre ist.[1] Andererseits hat Milnor gezeigt, dass zahlreiche Brieskorn-Sphären nicht diffeomorph zur sind. Zum Beispiel gibt für die 28 Differentialstrukturen auf der .

Für sind die Brieskorn-Sphären Homologiesphären, aber im Allgemeinen keine Sphären. Zum Beispiel ist die Poincaré-Homologiesphäre.

Einzelnachweise

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  1. E. Brieskorn: Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten. Invent. Math. 2, 1-14 (1966).