Biharmonische Abbildung

In der Mathematik ist die biharmonische Abbildung eine Verallgemeinerung des Begriffs der harmonischen Abbildung.

Eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten $u\colon M\to N$ heißt biharmonisch, wenn sie ein kritischer Punkt des Bi-Energie-Funktionals

$E_{2}(u):={\frac {1}{2}}\int _{M}\vert \Delta u\vert ^{2}dv_{g}={\frac {1}{2}}\int _{M}\vert \nabla _{e_{i}}Du(e_{i})\vert dv_{g}$

ist. Äquivalent muss $u$ die Euler-Lagrange-Gleichung

$\Delta ^{2}u+R^{N}(Du(e_{i}),\Delta u)Du(e_{i})=0$

mit dem Riemannschen Krümmungstensor $R^{N}$ erfüllen.

Für harmonische Abbildungen nimmt $E_{2}(u)$ das globale Minimum $E_{2}(u)=0$ an, weshalb harmonische Abbildungen biharmonisch sind. Wenn die Schnittkrümmung von $N$ nichtpositiv ist, gilt auch die Umkehrung. Ohne diese Voraussetzung gibt es im Allgemeinen aber biharmonische Abbildungen, die nicht harmonisch sind.

Literatur

• Guoying Jiang: 2-harmonic maps and their first and second variational formulas. Chin. Ann. Math., Ser. A 7, 389–402 (1986).