N8licht

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BAUSTELLE FÜR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR

Was wird hier gespielt?

Wie ich auf den Diskussionseiten zum harmonischen Oszillator und harmonischen Schwingung geschrieben habe soll hier eine Baustelle entstehen, wo ein zukünftiger Gesamtartikel wachsen kann. Das ganze könnte dann unter Schwingung/Oszillation als übergeordneter Artikel bzw. Verweis stehen, wie es bei der harmonischen Schwingung bereits geschehen ist. Die Formatierung ist grausam – ich weiß – aber ich habe sie gewählt, um eine gewisse Übersicht zu waren. Die Richtlinien mögen mir verzeihen.

Wie spiel ich mit?

Wenn ihr mitmachen wollt, schlage ich vor unter

• Zukünftiger Artikel den selbigen wachsen zu lassen
• Vorschläge Dinge die evtl. rein könnten zu sammeln und minimal zu diskutieren

Der Abschnitt Aktueller Artikel ist momentan für mich zum kopieren gedacht und wird sich nur dahingehend ändern, dass die Passagen die in den Zukünftigen fließen aus dem Aktuellen gelöscht werden.

Diskussionen

Für längere Diskussionen über den harmonischen Oszillator ist dessen Seite sinnvoller, da dass eh die erste Anlaufstelle dafür ist. Kritik an mir, der Seite oder der gleichen sollte sich geballt in der eigentlichen Seitendiskussion nieder lassen.

Harmonischer Oszillator

Dieser Artikel beschreibt den harmonischen Oszillator der klassischen Physik. Die Anwendung in der Quantenmechanik findet man in dem Artikel zum harmonischen Oszillator der Quantenmechanik

Harmonische Schwingung

Der harmonische oder freie ungedämpfte Oszillator ist ein Oberbegriff für idealisierte, physikalische Systeme, die einen Sinus oder Kosinus

${\begin{aligned}u(t)&={\hat {u}}\cos {(2\pi f_{0}t+\phi )}\\&={\hat {u}}\sin {(2\pi f_{0}t+\phi +{\tfrac {\pi }{2}})}\end{aligned}}$

als Funktion der Zeit $t$ beschreiben. Dabei hängen Bedeutung und Dimension von $u$ vom betrachteten System ab. Beim Federpendel ist $u$ die Auslenkung; für einen elektrischen Schwingkreis kann $u$, abhängig vom mathematischen Ansatz, Spannung, Strom oder Ladung bedeuten. Die Konstante $f_{0}$ heißt Eigenfrequenz und hängt nur von Systemgrößen ab und steht über den Kehrwert mit der Periodendauer $T_{0}=f_{0}^{-1}$ in Beziehung. Die Größe ${\hat {u}}$ nennt man Amplitude. Sie ist der Maximalwert von $u$ und von der Gesamtenergie des Systems abhängig. Die Phasenverschiebung $\phi$ bestimmt $u$ zum Zeitpunkt $t=0$.

Jede Schwingung hat einen Zeitpunkt an dem sie beginnt. Und da in der Natur immer Reibungseffekte auftreten und dem System Energie entziehen, hat jede Schwingung hat einen Zeitpunkt an dem sie endet. Die Gleichungen fordern eine harmonische Schwingung auch für $t=\pm \infty$. Daher sind reale Vorgänge nur begrenzt durch sie darstellbar, d.h. bei vernachlässigbaren Reibungsverlusten (vernachlässigbarer Dämpfung) und kurzen Zeitspannen.

In der theoretischen Physik definiert man Systeme, die die harmonische Schwingungsdifferentialgleichung erfüllen, als harmonischen Oszillator.

Differentialgleichung des harmonischen Oszillators

Die mathematische Behandlung harmonischer Oszillatoren führt auf die allen gemeinsame lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${\ddot {u}}+\omega _{0}^{2}u=0.$

Dabei ist $\omega _{0}$ die zur Frequenz $f_{0}$ gehörende Kreisfrequenz $\omega _{0}=2\pi f_{0}$

Feder-Masse-System

Federpendel: Falsches Bild, aber zur Erinnerung reichts.

Nach dem Hookeschen Gesetz erzeugt eine Feder der Federkonstanten $k$ bei Auslenkung um $x$ die Kraft

$F=-kx\,$,

die der Auslenkung entgegenwirkt. (Da die Auslenkung nur in einer Dimension erfolgt, braucht nicht mit Vektoren gerechnet zu werden.) Mit dem zweiten Newtonschen Axiom folgt bei konstanter Masse $m$ und eindimensionaler Bewegung

$ma=m{\ddot {x}}=F=-kx$.

Setzt man ${\tfrac {k}{m}}=\omega _{0}^{2}$ ergibt sich die Bewegungsgleichung zu

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$.

Elektrischer Schwingkreis

Elektrischer Schwingkreis

Elektrischer Schwingkreis

Nach dem Knoten- und Maschensatz müssen die Spannungen an Spule $U_{L}$ und Kondensator $U_{C}$

$-U_{L}+U_{C}=0$

ergeben. Trägt der Kondensator die Ladung $Q=CU_{C}$, entläd er sich über die Spule. Der Stromfluss $I={\dot {Q}}$ ändert sich mit der Zeit und induziert dabei die Spannung $-U_{L}=L{\dot {I}}=L{\ddot {Q}}$ in der Spule. Damit ergibt sich

$L{\ddot {Q}}+{\frac {Q}{C}}=0$.

Setzt man ${\tfrac {1}{LC}}=\omega _{0}^{2}$ folgt die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators

${\ddot {Q}}+\omega _{0}^{2}Q=0$.

Die Gleichungen für Spannung und Strom erhält man durch Einsetzen von $Q=CU_{C}$ beziehungsweise durch zeitliches Ableiten und anschließendes Benutzen von ${\dot {Q}}=I$.

Lösung der Differentialgleichung

Bei der Differentialgleichung (DGL) des harmonischen Oszillators handelt es sich um eine lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Für diese gibt eine Vielzahl von Lösungswegen:

• ${\textrm {e}}^{\lambda t}$-Ansatz (allgemeiner Ansatz)
• Laplace-Transformation (führt in erster Linie auf spezielle Lösungen, Anfangsbedingungen fließen in Rechnung mit ein)
• Spezielle Verfahren (führen nur auf Grund der speziellen Form der Gleichung zum Ziel)

${\textrm {e}}^{\lambda t}$-Ansatz

Dieser Ansatz ist praktikabel und führt zu einer allgemeinen Lösung. Ein weiterer Vorteil (aus Seiten der Physik) ist, dass er auch für freie gedämpfte und gekoppelte Oszillatoren benutzt werden kann.

Da $u$ und ${\ddot {u}}$ bis auf eine Konstante die selbe Zeitabhängigkeit haben müssen $({\ddot {u}}=-\omega _{0}^{2}u\quad \forall t\in \mathbb {R} )$) setzt man,

$u={\textrm {e}}^{\lambda t}$

mit unbekanntem aber konstantem $\lambda$. (Es kann auch $u={\hat {u}}{\textrm {e}}^{\lambda t}$ angesetzt werden, da es sich aber letztendlich wegkürzt, erhält man keine zusätzlichen Infromationen.)

Für die zweite Ableitung ergibt sich

${\begin{aligned}{\ddot {u}}&={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}u={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\textrm {e}}^{\lambda t}={\frac {d}{dt}}\lambda {\textrm {e}}^{\lambda t}\\&=\lambda ^{2}{\textrm {e}}^{\lambda t}.\end{aligned}}$

Einsetzen in die DGL liefert

$\lambda ^{2}{\textrm {e}}^{\lambda t}+\omega _{0}^{2}{\textrm {e}}^{\lambda t}=0$.

Da ${\textrm {e}}^{\lambda t}\not =0$ ergibt sich durch Kürzen das charakteristische Polynom

$\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2}=0$.

Diese Gleichung bestimmt die $\lambda$, für die der Ansatz die DGL löst. Da $\omega >0$ ist, kann man die imaginäre Einheit $i={\sqrt {-1}}$ abspalten und erhält

${\begin{aligned}\lambda &=\pm {\sqrt {-\omega _{0}^{2}}}=\pm {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {\omega _{0}^{2}}}\\&=\pm i\omega _{0}.\end{aligned}}$

Das Fundamentalsystem lautet somit

$\left\{{\textrm {e}}^{-i\omega t},{\textrm {e}}^{i\omega t}\right\}$.

Die allgemeine Lösung der Differntialgleichung ist dessen Linearkombination

$u={\hat {u}}_{1}{\textrm {e}}^{-i\omega t}+{\hat {u}}_{2}{\textrm {e}}^{i\omega t}$

Konstanten bestimmen sich aus Anfangsbedingungen aus Reellen

mit eulerscher Identität in Sinus- und Kosinusfunktionen überführbar

$u={\hat {u}}'_{1}\cos {\omega t}+{\hat {u}}'_{2}\sin {\omega t}$

Spezieller Ansatz

Wird ${\ddot {u}}$ als Funktion

${\ddot {u}}=-\omega _{0}^{2}u=f(u,t)$

betrachtet, hängt sie nur von $u$ und $t$ ab. Dann kann auch ein anderer Ansatz gewählt werden:

Spezielles Verfahren

We observe that:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}$

and substituting

${\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$

$\mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0$

integrating

${\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K$

where K is the integration constant, set K = (A ω₀)²

${\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}$

${\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t$

integrating, the results (including integration constant φ) are

${\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}$

and has the general solution

$x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,$

where the amplitude $A\,$ and the phase $\phi \,$ are determined by the initial conditions.

Alternatively, the general solution can be written as

$x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,$

where the value of $\phi \,$ is shifted by $\pi /2\,$ relative to the previous form;

or as

$x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,$

where $A\,$ and $B\,$ are the constants which are determined by the initial conditions, instead of $A\,$ and $\phi \,$ in the previous forms.

The frequency of the oscillations is given by

$f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$

The kinetic energy is

$T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$.

and the potential energy is

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$

so the total energy of the system has the constant value

$E={\frac {1}{2}}kA^{2}$

Zusammenhang zwischen Systemzustand und Energie

Der harmonische Oszillator ist in der Mechanik ein System, das ein Potentialminimum besitzt und bei einer Auslenkung $x$ aus diesem Minimum eine der Auslenkung proportionale Rückstellkraft $F$ erfährt:

$F(x)=-k\ x\qquad$ (Hookesches Gesetz)

Dabei ist $k>0$ die Federkonstante des Oszillators.

Äquivalent kann man formulieren, dass ein harmonischer Oszillator ein quadratisches, also parabelförmiges Potential besitzt:

$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$ dies folgt aus: $F=-\nabla V\Rightarrow V=-\int Fdr$

In dieser Definition findet das Konzept des harmonischen Oszillators in der gesamten Physik weit über die klassische Mechanik hinaus Anwendung.

Ein Teilchen der Masse $m$ beschreibt im Oszillatorpotential eine Sinusschwingung der Frequenz $\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$. Daher formuliert man obige Gleichungen auch als

$F(x)=-m\,\omega _{0}^{2}\ x\,;\qquad V(x)={\frac {1}{2}}m\ \omega _{0}^{2}\ x^{2}$

Auch wenn ein perfekter harmonischer Oszillator in der Natur nur selten realisiert ist (die potentielle Energie wird für große Auslenkungen beliebig groß), so hat das Konzept doch fundamentale Bedeutung in der Physik. Der Grund ist, dass in vielen physikalischen Modellen Auslenkungen aus einem Zustand minimalen Potentials betrachtet werden. Beschränkt man sich auf die Umgebung eines solchen Minimums, so kann das Potential lokal in der Regel mit einem harmonischen Oszillator approximiert werden, da das quadratische Glied das erste nichtverschwindende Glied in der Taylorentwicklung des Potentials um das Minimum ist. Der Vorteil einer solchen Näherung besteht darin, dass das Problem mit Standardmethoden handhabbar wird und einfach zu interpretierende analytische Lösungen erhalten werden.

Federpendel und Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen sind Beispiele für harmonische Oszillatoren in der Mechanik. Der elektrische Schwingkreis ist ein Beispiel aus der Elektrizitätslehre.

Begriff der Harmonizität

Der Begriff harmonisch kommt aus der Akustik: Ein akustischer, harmonischer Oszillator erzeugt "reine" Sinustöne. Frequenzüberlagerungen von Vielfachen einer Grundfrequenz empfindet der Mensch als harmonisch.

Zeitlicher Ablauf der Energiebilanz

Energie verlustfrei und periodisch zwischen zwei Energieformen umwandeln.

Die Umwandlung zwischen den Energien resultiert aus dem Wechselspiel zweier Vorgänge:

Ein Energievorrat $V'$ wird durch eine rücktreibende Kraft veringert, die das System in Richtung minimaler Energie $V$ (Ruhelage: $u=0$) zwingt. Dies erhöht den Energievorrat $V$. Ist $V'$ erschöpft, entspricht $V$ der Gesamtenergie $E$. Dabei erreichen $u={\hat {u}}$ und Rücktreibende Kaft ihren Maximalwert.

Auf Grund der rücktreibenden Kraft beginnt das System sich in Richtung minimaler Energie $V$ zu bewegen (${\hat {u}}\longrightarrow u_{2}$).$V'$ wird wieder aufgefüllt, da das System keine Energie nach Außen abgeben kann. Gleichzeitig veringert sich die rücktreibende Kaft.

Sobald $V$ erschöpft ist, ist die Gesamtenergie in $V'$ gespeichert, $u=0$, rücktreibende Kaft ist nicht vorhanden und zeitliche Änderung der Systemkoordinate ${\dot {u}}$ ist maximal. Mit Hilfe dieser Energie kann das System die Ruhelage wieder wieder verlassen. Der Prozess beginnt von neuem aber in Richtung negativer $u$. Die Gesamtenergie bleibt zu allen Zeiten konstant: $E=V'+V={\textrm {const}}$.

• das Federpendel eine mechanische Realisierung dar. Hier wird zwischen kinetischer Energie der Masse und potentieller Energie der gespannten Feder umgewandelt.
• der Schwingkreis eine elektrische Realisierung dar. Hier wird zwischen elektrischer Feldenergie des Kondensators und magnetischer Feldeenergie der Spule umgewandelt

Beispiele

Systemvariable		Federpendel		Schwingkreis
Koordinate	$u$	Auslenkung der Feder	$x$	Ladung des Kondensators	$Q$
Energie	$V$	potentielle Energie der gespannten Feder	${\tfrac {1}{2}}kx^{2}$	Feldenergie des Kondensators	${\tfrac {1}{2}}CU^{2}={\tfrac {1}{2}}C^{-1}Q^{2}$
Energie	$V'$	kinetische Energie der Masse	${\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$	Feldenergie der Spule	${\tfrac {1}{2}}LI^{2}={\tfrac {1}{2}}L{\dot {Q}}^{2}$

Bedeutung in der Physik

Der harmonische Oszillator ist eine der wichtigsten Modellsysteme der Physik, da die auftretenden Gleichungen analytisch lösbar sind und jedes Potential, dass ein Minium besitzt, dort durch eine Parabel angenährt werden kann.

Für kleine Abstände vom Minimum kann das Potential $V(u)$ in einer Taylorreihe entwickelt werden, wobei die Terme ab der dritten Ordnung vernachlässigt werden. Da um ein Minimum entwickelt wird, entfällt auch der Term erster Ordnung.

In der nebenstehenden Abbildung wurde dies für ein Lennard-Jones-(12,6)-Potential (blaue Kurve) durchgeführt und wie ersichtlich nur für kleine Abstände vom Minimum eine brauchbare Näherung (rote Kurve).

Zur besseren mathematischen Handhabung kann durch eine geeignete Koordinatentransformation der Scheitelpunkt in den Koordinatenursprung gelegt werden.

Links

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VORSCHLÄGE

ein Anfang

Hmm, ich glaube man sollte erstmal eine Definition finden. Halt eine solide Wikipedia Standardeinleitung. — n8licht 02:32, 17. Feb 2007 (CEST)

Gute Idee, aber du bist ein Idiot. Du redest mit dir selber! — n8licht 03:01, 17. Feb 2007 (CEST)

Hast recht, ist aber auch schon 3Uhr nachts. Was soll man da noch erwarten außer einer Formatierungsvorlage — n8licht 03:05, 17. Feb 2007 (CEST)

AKTUELLER ARTIKEL

Harmonische Schwingung

Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass die Zeitabhängigkeit ihrer veränderlichen Zustandsgrößen sinusförmig ist. Zugleich ist ihre Schwingungsdauer T bzw. Frequenz f unabhängig von der Amplitude. Diese Form der Schwingung entsteht in einfachen linearen Systemen ohne Dämpfung.

Vertikale Schwingung an einer Feder

Ein Beispiel ist das Feder-Masse-Pendel. Ein Körper der Masse m ist an einer Feder mit der Federkonstante D befestigt. Lenkt man den Körper um das Stück y aus der Ruhelage aus, so wird die Feder gedehnt bzw. gestaucht und übt auf den Körper eine rücktreibende Kraft F aus, die sich gemäß dem Hookeschen Gesetz zu

$F=-D\cdot y$

berechnet, deren Betrag also proportional zu y ist.

Dieser lineare Zusammenhang zwischen dem Betrag der Kraft F und der Auslenkung y, kurz lineares Kraftgesetz genannt, ist notwendige Voraussetzung für das Entstehen harmonischer Schwingungen.

Die Kraft wirkt beschleunigend auf den Körper, wobei nach Newtons Kraftgesetz für die Beschleunigung a die Beziehung

$a={\frac {F}{m}}$

gilt. Nun ist die Beschleunigung die zweite Ableitung der Elongation (=Ausschlag) nach der Zeit:

$a={\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}$

Durch Einsetzen ergibt sich hieraus für y(t) die Differentialgleichung

${\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}={\frac {-D}{m}}\cdot y(t)$

, die z.B. durch

$y(t)=y_{0}\sin(\omega t)\,$

gelöst wird.

Darin ist y₀ die Amplitude und $\omega =2\cdot \pi \cdot f$ die Kreisfrequenz. Die Auslenkung y(t) wird auch als Elongation bezeichnet.

Zweimaliges Differenzieren und Einsetzen ergibt:

$-\omega ^{2}\cdot y_{0}\sin(\omega t)={\frac {-D}{m}}\cdot y_{0}\sin(\omega t)$

Daraus erhält man $\omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}$ und da $\omega =2\pi \cdot {\frac {1}{T}}$ ergibt $T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}$

Die letzten Ergebnisse für die Kreisfrequenz und die Schwingungsdauer lassen sich auch ohne Verwendung der Bewegungsgleichung mit dem Pi-Theorem ermitteln.

Eine einfache Diskussion mit Beispielen

Damit ein Objekt oszillieren (schwingen) kann, muss eine Kraft auf das Objekt wirken. Eine konstante Kraft würde jedoch das Objekt konstant beschleunigen (zum Beispiel wie ein Stein, der unter der Schwerkraft immer schneller zu Boden fällt, oder ein Rennwagen, dessen Gaspedal bis zum Boden durchgedrückt ist). Daher brauchen wir eine Kraft, die von der Position des Objektes abhängt. Die einfachste Art, dies zu gewährleisten ist eine lineare rücktreibende Kraft:

$F=-kx$

x ist die Position des Objektes, und k ist eine positive Konstante (Federkonstante). Je weiter das Objekt weggezogen wird, desto größer ist die Zugkraft, die auf das Objekt wirkt.

Natürlich existieren in der Natur noch viele komplizierte Kräfte, die nicht nur von der Auslenkung x, sondern z.B. auch von der Zeit, der Geschwindigkeit etc. abhängig sind. In diesem Beispiel fangen wir jedoch mit dem einfachsten Fall an.

Nach Newton gilt:

$a={\frac {F}{m}}$

oder, in unserem Fall

$a=-{\frac {kx}{m}}$

(die Kraft F von der obigen Gleichung wurde hier eingesetzt.)

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes (Beschleunigung hat die Einheit (m/s²), der Ort hat die Einheit (m)). Wir stellen uns jetzt den Ort als eine Funktion der Zeit vor. (Falls das kompliziert klingt, folgendes Beispiel: "Wenn ich mit 2 km/h (v) 2 Stunden (t) laufe, dann bin ich 4 Kilometer gelaufen" (x(t)): x(t) = v · t)

Es gilt also:

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-{\frac {kx(t)}{m}}$

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x(t)$

Hier wurde $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ gesetzt.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir eine Funktion x(t) finden, deren zweite Ableitung, $d^{2}x(t)/dt^{2}$, genau negativ proportional zur Funktion selbst ist. Genau das erfüllen die Funktionen sin(x) und cos(x), also ist dies eine Lösung:

$x(t)=a\cdot \sin(\omega t)+b\cdot \cos(\omega t)$

wobei a und b zwei willkürliche Konstanten sind. Mit Gleichungen der Trigonometrie, kann diese Gleichung auch als

$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )$

geschrieben werden. Auch hier sind wieder zwei willkürliche Konstanten vorhanden, A und $\phi$. A ist die Amplitude, und $\phi$ ist die Phase.

Die Sinusfunktion wiederholt sich unendlich mit der Periode 2$\pi$. Es gilt also $\sin(a+2\pi )=sin(a)$.

Wir haben

$x\left(t+{\frac {2\pi }{\omega }}\right)=A\sin \left(\omega \left(t+{\frac {2\pi }{\omega }}\right)+\phi \right)=A\sin \left(\omega t+2\pi +\phi \right)=x(t)$

Die Schwingung wiederholt sich alle $2\pi /\omega$ Sekunden. Oder, anders gesagt, es gibt $\omega /2\pi$ Schwingungen pro Sekunde (Kehrwert). Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde wird Frequenz $f$ oder $\nu$ genannt.

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Es gilt also:

$\omega =2\pi f$

An dieser Stelle können wir nun die Lösung unserer Gleichung im Zusammenhang mit der Frequenz angeben.

$x(t)=A\sin(2\pi ft+\phi )$

Wie man erkennt, hängt die Frequenz einer Schwingung von k und v ab. Je gespannter ein Körper (größeres k, also ist die Kraft größer, die das Objekt in die Ruhelage zurückziehen möchte), desto höher ist die Frequenz. Ein ausgeleiertes Gummiband hat ein niedriges k, wohingegen ein weit auseinandergezogenes Gummiband ein großes k hat (Wie man erkennt, besitzt ein Gummiband also variable k-Werte, die von der Streckung abhängen).

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die höhere Frequenz einer Saite (z.B. beim Klavier, oder bei einer Gitarre), wenn diese stramm gezogen wird (größeres k). Wird die Masse der Saite erhöht, (größeres m), so schwingt diese mit einer niedrigeren Frequenz. Daher sind die Bass-Saiten einer Gitarre (oder die tiefen Töne eines Klaviers, oder die Saiten einer Bass-E-Gitarre) wesentlich dicker als die Saiten für höhere Töne.

Eine kleine Maus kann daher auch nicht tief brummen - ihre Masse ist schlicht zu klein. Sie kann nur in hohen Tönen fiepen. Noch ein Beispiel: ein Gummiband, das recht ausgeleiert ist (kleines k) erzeugt beim Anzupfen eine sehr niedrige Frequenz. Das Gummiband schwingt so langsam hin und her (niedrige Frequenz f), dass der Luft, die das Gummiband umgibt, genug Zeit bleibt, um das Gummi herumzufließen, anstatt vom Gummi komprimiert zu werden. Ohne Kompression gibt es keine Schallwellen (siehe Longitudinalwelle).

Tatsächlich strahlt eine Saite oder Membran in einem Bass-Instrument (wie der Pauke oder dem Fagott) nur sehr wenig Schallenergie (Lautstärke) aus. Erst durch die großen Resonanzkörper, die Bassinstrumente umgeben, werden die Schwingungen in Schallwellen umgewandelt.

Oszillator und Reibung

Das schwingende Federpendel stellt einen Oszillator dar, in dem fortwährend Energie zwischen den Formen elastische Energie (Dehnung oder Stauchung der Feder) und kinetische Energie (Bewegungsenergie der Masse) ausgetauscht wird.

Normalerweise ist die Schwingung nicht reibungsfrei, d.h. durch Reibung wird dem System Energie entzogen; die Amplitude nimmt im Laufe der Zeit ab. In der Differentialgleichung tritt dann zur beschleunigenden Kraft F eine Reibungskraft F_R hinzu:

d²y(t)/dt² = - D · y(t) + F_R .

Der genaue Ausdruck für F_R hängt von der Art der Reibung ab. Im Falle trockener Reibung (z.B. Gleitreibung) ist F_R konstant, aber vom Vorzeichen der Richtung der Geschwindigkeit abhängig,

F_R = - k · sign(dy(t)/dt).

Im Falle dynamischer Reibung (z.B. innere Reibung bei elastischer Verformung) ist F_R proportional zur Geschwindigkeit, also zur ersten zeitlichen Ableitung der Elongation:

F_R = - k · dy(t)/dt .

Die entsprechenden Lösungen der Differentialgleichung führen dann zu einer Schwingung mit linear bzw. exponentiell abnehmender Amplitude. Da die Amplitude sich mit der Zeit verändert, handelt es sich nicht um eine harmonische Schwingung im engeren Sinne, bei der die Amplitude konstant bleibt.

Pendelschwingung und Sekundenpendel

Bei einem idealen und reibungsfreien System bleibt die Amplitude der Schwingung konstant. Dies ist annähernd durch ein langes, schweres Pendel realisierbar, weshalb man schon früh die Schwerkraft mit exakt gefertigten Pendeln gemessen hat. Durch diese Gravimetrie und durch Gradmessung wurde im 18. Jahrhundert die Form der Erde bestimmt, aus der das Meter definiert wurde.

Auch das Sekundenpendel (mit der Schwingungsdauer von 2 s) leitet sich daraus ab, das je nach Schwerkraft eine Länge von rund einem Meter hat. Bei einer genauen Pendeluhr wird die Amplitude durch eine spezielle Mechanik (das Steigrad) konstant gehalten, wodurch die Schwingungsdauer T stabil bleibt, denn diese ist bei einem Pendel geringfügig amplitudenabhängig. Die Schwingungsdauer des idealen Pendels hängt mit der Pendellänge l und der Fallbeschleunigung g näherungsweise über die Formel

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

zusammen. Einflüsse von außen kann man klein halten, indem das Pendel im Vakuum schwingt und gegen Temperatureffekte kompensiert ist. Dadurch ließen sich schon im 19. Jahrhundert Genauigkeiten besser als 0.1 Sekunde pro Tag erreichen, die erst um 1950 von Quarzuhren übertroffen wurden.

siehe auch: Harmonischer Oszillator

Harmonischer Oszillator

Potenzialkurve eines harmonischen Oszillators

Der harmonische Oszillator ist in der Mechanik ein System, das ein Potentialminimum besitzt und bei einer Auslenkung $x$ aus diesem Minimum eine der Auslenkung proportionale Rückstellkraft $F$ erfährt:

$F(x)=-k\ x\qquad$ (Hookesches Gesetz)

Dabei ist $k>0$ die Federkonstante des Oszillators.

Äquivalent kann man formulieren, dass ein harmonischer Oszillator ein quadratisches, also parabelförmiges Potential besitzt:

$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$ dies folgt aus: $F=-\nabla V\Rightarrow V=-\int Fdr$

In dieser Definition findet das Konzept des harmonischen Oszillators in der gesamten Physik weit über die klassische Mechanik hinaus Anwendung.

Ein Teilchen der Masse $m$ beschreibt im Oszillatorpotential eine Sinusschwingung der Frequenz $\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$. Daher formuliert man obige Gleichungen auch als

$F(x)=-m\,\omega _{0}^{2}\ x\,;\qquad V(x)={\frac {1}{2}}m\ \omega _{0}^{2}\ x^{2}$

Auch wenn ein perfekter harmonischer Oszillator in der Natur nur selten realisiert ist (die potentielle Energie wird für große Auslenkungen beliebig groß), so hat das Konzept doch fundamentale Bedeutung in der Physik. Der Grund ist, dass in vielen physikalischen Modellen Auslenkungen aus einem Zustand minimalen Potentials betrachtet werden. Beschränkt man sich auf die Umgebung eines solchen Minimums, so kann das Potential lokal in der Regel mit einem harmonischen Oszillator approximiert werden, da das quadratische Glied das erste nichtverschwindende Glied in der Taylorentwicklung des Potentials um das Minimum ist. Der Vorteil einer solchen Näherung besteht darin, dass das Problem mit Standardmethoden handhabbar wird und einfach zu interpretierende analytische Lösungen erhalten werden.

Federpendel und Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen sind Beispiele für harmonische Oszillatoren in der Mechanik. Der elektrische Schwingkreis ist ein Beispiel aus der Elektrizitätslehre.

Differentialgleichung des harmonischen Oszillators

Aus dem linearen Kraftgesetz erhält man mit dem Newton-Axiom

$F=m\,{\ddot {x}}$

die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

Dieser kann noch ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfungsterm $2\Gamma {\dot {x}}$ und eine antreibende Kraft $F_{\mathrm {ext} }$ hinzugefügt werden, um die Differentialgleichung eines angetriebenen, gedämpften harmonischen Oszillators zu erhalten:

${\ddot {x}}+2\Gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}\;F_{\mathrm {ext} }$

Tritt in der externen Kraft eine Fourierkomponente mit der Frequenz $\omega _{0}$ auf, spricht man von resonanter Anregung. Ist zusätzlich die Dämpfung schwach, so kann es in einem solchen System zu einer Resonanzkatastrophe kommen, bei der die Amplitude des Oszillators bis zur Zerstörung des Systems wächst.

Der mehrdimensionale harmonische Oszillator

Ein harmonischer Oszillator in n Dimensionen hat das Potential

$V({\vec {x}})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,x_{i}^{2}$

und das Kraftgesetz

${\vec {F}}({\vec {x}})=-\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ x_{i}\,{\vec {e}}_{i}$.

Da die Kraftkomponenete in einer Dimension nur von der Auslenkung in diese Dimension abhängt, sind die Lösungen für die einzelnen Komponenten des Ortsvektors die Lösungen des entsprechenden eindimensionalen Problems.

Quantenmechanik

{{Überarbeiten}} Das Einsetzen des harmonischen Potentials in die Schrödingergleichung führt zu diskreten Energieeigenwerten:

$E_{v}=\left(v+{\frac {1}{2}}\right)\,h\,\nu _{0}$

Dabei ist h das plancksche Wirkungsquantum, $\nu _{0}$ die Eigenfrequenz des Oszillators und v die Schwingungsquantenzahl, eine natürliche Zahl, also

$v=0,1,2,...$

Dies hat fundamentale Folgen:

1. Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur ganzzahlige Vielfache von $h\nu _{0}$. Der tiefste Energiezustand ist $E_{0}={\frac {1}{2}}h\nu _{0}$

Da die Wellenfunktion bei dieser Energie bereits eine gewisse Breite hat, ist der Ort nicht genau bestimmt (siehe dazu auch Unschärferelation bzw. Nullpunktsschwingung/Nullpunktsenergie). Der niedrigste Energiezustand ist auch bei der Temperatur T = 0 K E₀.

Die allgemeinen Lösungsfunktionen sind die entsprechend normierten hermiteschen Funktionen.

Anwendungsbeispiele:

• Molekülphysik: Bindungen, Schwingungsspektren
• Festkörperphysik: Phononen

Anharmonische Oszillatoren

Bei anharmonische Oszillatoren treten mehr oder minder große Abweichungen vom linearen Kraftgesetz bzw. vom quadratischen Potential auf. Ist das System stark gedämpft und die Anharmonizität klein, so macht sie sich in der Regel nur dadurch bemerkbar, dass Oberschwingungen der Grundfrequenz auftreten. Wenn das System nur schwach gedämpft ist oder der nichtlineare Term das Kraftgesetz dominiert, so kann chaotisches Verhalten auftreten. Ein Beispiel dafür ist der Toda-Oszillator.

Siehe auch

• Teilchen im Kasten
• Teilchen auf dem Ring
• anharmonischer Oszillator

Weblinks

ChemgaPedia zu harmonischen/anharmonischem Oszillator

SEITENDISKUSSION

Ich finde

...du bist ein Trottel Das ist kein Blog hier! — n8licht 03:11, 17. Feb 2007 (CEST)

Schau dir doch bitte Wikipedia:Diskussionsseiten an. Gruß --Spongo B ¿ 14:58, 13. Jul. 2007 (CEST)

gute Arbeit

Hallo N8licht, Sehr nett, dass du dir die Arbeit machst etwas Licht ins durcheinander der HO-Artikel zu bringen. Ich hab ein paar Dinge von dir schon eingebaut. Insgesamt denke ich aber, ist es produktiver, wenn du die Dinge gleich in die entsprechenden Artikel schreibst --Debenben (Diskussion) 04:57, 18. Dez. 2012 (CET)