Die Partialspur ist eine mathematische Operation, die in der Quantenmechanik verwendet wird.
Seien
H
A
{\displaystyle H_{A}}
H
B
{\displaystyle H_{B}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Hilberträume der Dimensionen
N
A
{\displaystyle N_{A}}
N
B
{\displaystyle N_{B}}
H
C
=
H
A
⊗
H
B
{\displaystyle H_{C}=H_{A}\otimes H_{B}}
Hilbertraum-Tensorprodukt der Dimension
N
A
N
B
{\displaystyle N_{A}N_{B}}
A
∈
H
A
{\displaystyle A\in H_{A}}
B
∈
H
B
{\displaystyle B\in H_{B}}
C
=
A
⊗
B
∈
H
C
{\displaystyle C=A\otimes B\in H_{C}}
C
m
A
m
B
;
n
A
n
B
=
A
m
A
n
A
B
m
B
n
B
,
m
A
,
n
A
∈
{
1
,
.
.
.
,
N
A
}
,
m
B
,
n
B
∈
{
1
,
.
.
.
,
N
B
}
{\displaystyle C_{m_{A}m_{B};n_{A}n_{B}}=A_{m_{A}n_{A}}B_{m_{B}n_{B}},\quad \quad m_{A},n_{A}\in \{1,...,N_{A}\},\quad m_{B},n_{B}\in \{1,...,N_{B}\}}
Die Partialspur von
C
{\displaystyle C}
H
A
{\displaystyle H_{A}}
A
{\displaystyle A}
(
S
p
u
r
A
C
)
m
B
n
B
=
∑
k
=
1
N
A
C
k
m
B
;
k
n
B
{\displaystyle (\operatorname {Spur_{A}} C)_{m_{B}n_{B}}=\sum _{k=1}^{N_{A}}C_{km_{B};kn_{B}}}
analog zur Definition der Spur . Entsprechend ist die Partialspur von
C
{\displaystyle C}
H
B
{\displaystyle H_{B}}
B
{\displaystyle B}
(
S
p
u
r
B
C
)
m
A
n
A
=
∑
k
=
1
N
B
C
m
A
k
;
n
A
k
{\displaystyle (\operatorname {Spur_{B}} C)_{m_{A}n_{A}}=\sum _{k=1}^{N_{B}}C_{m_{A}k;n_{A}k}}
Mathematische Eigenschaften
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Für die Partialspuren gilt folgende Beziehung:
Spur
(
C
)
=
S
p
u
r
A
(
S
p
u
r
B
C
)
=
S
p
u
r
B
(
S
p
u
r
A
C
)
{\displaystyle \operatorname {Spur} (C)=\operatorname {Spur_{A}} (\operatorname {Spur_{B}} C)=\operatorname {Spur_{B}} (\operatorname {Spur_{A}} C)}
A. Messiah: Quantenmechanik, Band 1 . 2. Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 1991, ISBN 3-11-011452-6 , S. 249 f .
