Benutzer:Lantani/Wurzel

Grafische Darstellung der Quadratwurzel-Funktion $y={\sqrt {x}}$

In doppeltlogarithmischer Auftragung werden die $n$-ten Wurzeln zu Geraden.

In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten $x$ in der Potenz $a=x^{n}\,$. Hierbei ist $n$ eine natürliche Zahl ungleich 0 und $a$ eine nichtnegative reelle Zahl. Unter diesen Voraussetzungen gibt es immer genau ein solches $x$, das ebenfalls eine nichtnegative reelle Zahl ist. Dieses $x$ ist dann das Ergebnis des Wurzelziehens und heißt Wurzel oder Radikal (von lat. radix „Wurzel“$x$). Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens. Im Fall $n=2$ spricht man von Quadratwurzeln, bei $n=3$ von Kubikwurzeln. Wurzeln werden mit Hilfe des Wurzelzeichens notiert, im Beispiel ist $x={\sqrt[{n}]{a}}$ die Wurzel bzw. das Radikal.

Definition, Sprech- und Schreibweisen

Ist $n\geqq 1$ eine natürliche Zahl und $a$ eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung

$x^{n}=a$

genau eine nichtnegative reelle Lösung. Diese wird als $n$-te Wurzel aus $a$ bezeichnet. Man schreibt dafür:

$x={\sqrt[{n\,}]{a}}$

Hierbei bezeichnet man

• ${\sqrt[{n\,}]{a}}$ als Wurzel, Radikal oder Radix,
• ${\sqrt {\;\;}}$ als Wurzelzeichen,
• $n$ als Wurzelexponent,
• $a$ als Radikand.

Im Spezialfall $n=1$ erhält man ${\sqrt[{1\,}]{a}}=a$.

Quadrat- und Kubikwurzel

Üblicherweise wird die zweite Wurzel als Quadratwurzel oder einfach nur als die Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen:

${\sqrt {a}}={\sqrt[{2}]{a}}$

Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzel) bezeichnet man auch als Kubikwurzel.

Beispiel:

${\sqrt[{3}]{8}}=2$

(Sprich: Die dritte Wurzel aus 8 ist 2.
oder: Die Kubikwurzel aus 8 ist 2.)

Verschiedene Begriffe „Wurzel“ in der Mathematik

n-te Wurzel aus einer Zahl (Funktion)

Das ist der oben erläuterte Begriff, um den es in diesem Artikel geht: Die $n$-te Wurzel ist eine Funktion, deren Definitions- und Wertebereich jeweils eine Menge von Zahlen ist, und bei der die $n$-te Potenz der $n$-ten Wurzel einer Zahl $a$ wieder $a$ ist. Damit die $n$-te Wurzel eine Funktion ist, muss sie überall eindeutig definiert sein. Wie im Abschnitt Die Wurzel als Funktion diskutiert, ist das nicht immer ohne weiteres der Fall. Dann muss die Definition der Wurzelfunktion durch eine Anpassung des Definitions- oder Wertebereichs eindeutig gemacht werden.

Wurzel eines Polynoms

Ist $f(x)$ ein Polynom über einem beliebigen Ring, so heißen seine Nullstellen auch seine Wurzeln. Die Elemente des Rings können dabei Zahlen sein oder auch nicht, und ein Polynom kann keine, eine oder mehrere Wurzeln haben. – Die Formulierung „Wurzel aus dem Polynom $f(x)$“ sollte man dafür vermeiden, um Verwechslungen mit der Potenzierung eines Polynoms vorzubeugen.

Diese beiden Begriffe sind eigentlich unverwechselbar: Der erste bezeichnet für jeden Wurzelexponenten $n$ eine Funktion, die einer Zahl ihre $n$-te Wurzel zuordnet. Der zweite Begriff, bei dem es keinen Wurzelexponenten gibt, bildet, als Funktion aufgefasst, Polynome über einem Ring auf Mengen von Ringelementen ab – also ein ganz anderer Sachverhalt. Die Verbindung der beiden Begriffe besteht darin, dass die $n$-te Wurzel einer Zahl $a$ eine der Wurzeln des Polynoms $x^{n}-a$ sein muss. – In der mathematischen Umgangssprache wird mitunter die verkürzende Formulierung „eine (statt die) $n$-te Wurzel aus $a$“ für eine der Wurzeln des Polynoms $x^{n}-a$ benutzt, also nicht für eine einzige. Das ist dann keine Funktion von $a$ und lässt sich daher auch nicht mit dem Wurzelzeichen schreiben, das ja ein Funktionssymbol ist.

Andere Bedeutungen in der Mathematik

Siehe den Abschnitt Mathematik auf der Begriffsklärungsseite Wurzel.

Die Wurzel als Funktion

fehlt: Äquivalenzumformung – Historisches – Einheitswurzel – Halbgruppe

In den voranstehenden Definitionen und Erläuterungen zum Begriff der Wurzel war immer vorausgesetzt worden, dass der Radikand eine „Zahl“ ist, zuletzt sogar ohne die Menge in Frage kommender Zahlen genau zu spezifizieren. Diese Lücke soll hier geschlossen werden.

Zum Begriff einer $n$-ten Wurzel braucht man nicht mehr als den einer $n$-ten Potenz, und dafür reicht die Definition einer Multiplikation aus, unabhängig davon, ob es sich in irgendeinem Sinne um Zahlen handelt. Ist $A$ eine Menge, auf der eine Multiplikation definiert ist, so kann man die $n$-te Potenz eines Elements $a$ von $A$ rekursiv definieren als

$a^{n}={\begin{cases}a,&{\text{wenn }}n=1\\a^{n-1}\cdot a,&{\text{wenn }}n>1\end{cases}}$

Die „Multiplikation“ kann dabei eine beliebige assoziative zweistellige Operation auf $A$ sein; das reicht dafür aus, dass die $n$-te Potenz eine überall auf $A$ definierte Funktion ist und dass dabei für alle natürlichen Zahlen $r$ und $s$ gilt: $a^{r}a^{s}=a^{s}a^{r}=a^{r+s}$. Schon unter diesen Voraussetzungen kann man sich zu gegebenen $n\in \mathbb {N} ^{+}$ und $a\in A$ die Frage stellen, für welche $x\in A$ gilt, dass $x^{n}=a$. Eine Addition oder gar einen Polynombegriff braucht es dazu nicht zu geben.

Die Wurzelfunktion, also die gesuchte Umkehrfunktion der $n$-ten Potenz, gibt es genau dann, wenn die $n$-te Potenz bijektiv ist, wenn sie also die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

• Sie ist surjektiv, d. h. jedes Element $b$ von $A$ ist $n$-te Potenz mindestens eines Elementes $a$ von $A$. Sonst wäre die Umkehrfunktion an der Stelle $b$ nicht definiert.
• Sie ist injektiv, d. h. jedes Element $b$ von $A$ ist $n$-te Potenz höchstens eines Elementes $a$ von $A$. Sonst wäre die Umkehrfunktion an der Stelle $b$ mehrdeutig.

Diese Bedingungen sind im Allgemeinen nicht erfüllt. Beispiele:

• Ist $A$ die Menge der ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen mit der üblichen Multiplikation, so ist die Injektivität aller geraden Potenzen verletzt, weil 1 und –1 denselben Wert der Potenzfunktion haben.
• Das gilt auch für jeden anderen Integritätsbereich mit einer Charakteristik ungleich 2, und auch für jede Teilmenge davon, die eine Zahl ungleich 0 und zugleich deren Negatives enthält.
• Bei den reellen Zahlen ist außerdem die Surjektivität aller geraden Potenzen verletzt, weil die negativen Zahlen keine geraden Potenzen reeller Zahlen sind.
• Bei den natürlichen Zahlen ist die Injektivität aller Potenzen erfüllt, aber die Surjektivität aller Potenzen $>1$ verletzt, weil nur wenige natürliche Zahlen Potenzen natürlicher Zahlen sind.

Keine der beiden Bedingungen ist stets erfüllt, auch dann nicht, wenn es sich bei $A$ um eine handelt.

Das ist nicht auf den Fall beschränkt, dass es sich um herkömmliche Zahlen (also eine Teilmenge der komplexen Zahlen) handelt.

Mathematische Grundlagen

Die folgende Beschreibung des Radizierens als einer rechtseindeutigen Wurzelfunktion bezieht sich auf den angeordneten Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen, also gewissermaßen auf die Schulmathematik. Ein allgemeinerer Wurzelbegriff, der den hier beschriebenen umfasst, wird im Artikel Adjunktion (Algebra) behandelt.

Zusammenhang mit Potenzen

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ und das Potenzieren mit dem Exponenten $n$ heben sich gegenseitig auf.
Gemäß obenstehender Definition der Wurzel gilt für alle reellen Zahlen $a\geq 0$ und für alle natürlichen Zahlen $n\geq 1$:

${\big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\big )}^{n}=a$ .

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$.
Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:

$\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a$ .

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n auch als Potenzieren mit dem Exponenten ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ interpretiert werden:

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$ .

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen ${\sqrt[{}]{\color {White}1}}$ grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung $x^{2}=4$ die beiden Lösungen $x=+2$ und $x=-2$. Der Term ${\sqrt[{2}]{4}}$ hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten

${\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|$, insbesondere ${\sqrt {x^{2}}}=|x|$.

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

$(-2)^{3}=-8\,,$

und $-2$ ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz $-8$ ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:

• Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell nicht definiert. Beispielsweise ist ${\sqrt[{3}]{-8}}$ also undefiniert. Die Lösung der Gleichung $x^{3}=-8$ wird geschrieben als $x=-{\sqrt[{3}]{8}}$.
• Wurzeln aus negativen Zahlen sind definiert, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen $2n+1$ gilt generell

${\sqrt[{2n\;\!\!+\;\!\!1}]{-a}}=-\,{\sqrt[{2n\;\!\!+\;\!\!1}]{\ a}}$.

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

$-2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.$

Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung ${\sqrt[{k}]{a}}=a^{\frac {1}{k}}=\exp \left({\tfrac {1}{k}}\ln(a)\right)$, da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist ($a$ darf also nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl $x$, sodass $x^{2}=-1$, somit kann man auch keine Wurzel $x={\sqrt[{2}]{-1}}$ finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen; allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, siehe unten.