Benutzer:Hederich/Funktion

Zuordnungen mathematischer Objekte zu mathematischen Objekten, zum Beispiel zu jeder Zahl deren Quadrat oder zu jeder endlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente, werden Funktionen, Operatoren oder Abbildungen genannt, wenn sie eindeutige sind, dass heißt, wenn sie keinem Objekt mehr als ein Objekt zuordnen. Andernfalls nennt man sie Multifunktionen.
Funktionen nehmen in der Mathematik eine zentrale Stellung ein, in vielen mathematischen Disziplinen sind deren Objekte Funktionen.

Nachstehend bezeichnet ${\overset {\centerdot }{n}}$ die endliche Ganzzahl-Indexmenge $\{i\}_{i=1}^{\boldsymbol {n\in \mathbb {N} }}$, ${\overset {\centerdot }{\infty }}$ die unendliche Ganzzahl-Indexmenge $\mathbb {N}$

Basisbegriffe

• Ordnet eine Funktion, $f$, dem Objekt $a$ das Objekt $b$ zu, dann schreibt man dafür $f\colon a\mapsto b$ und nennt $b~$ Funktionswert von $f$ für das Argument $a$, so notiert$:~f(a)$ oder $f_{}a$ oder $f_{\!\centerdot a}$

Für “Funktionswert von $f$ für das Argument $a$” sagt man auch $a$-te Komponente von $f$ oder $a$-tes Glied von $f$ oder Bildpunkt des Urbildpunktes $a$ unter der Abbildung $f$

• Diejenigen Objekte, denen $f$ Objekte zuordnet, bilden den Domain von $f$, so notiert: ${}^{\mathbf {D} }\!\!f$$\qquad \qquad \qquad \qquad :=~\{x\mid \exists y\colon f\colon x\mapsto y\}$

Für “Domain von $f$” sagt man auch Definitionsbereich von $f$ oder Argumentebereich von $f$ oder Indexbereich von $f$ oder Urbild unter $f$

• Diejenigen Objekte, die von $f$ Objekten zugeordnet werden, bilden den Codomain von $f$, so notiert: ${}^{\mathbf {C} }\!\!f$$\qquad :=~\{y\mid \exists x\colon f\colon x\mapsto y\}$

Für “Codomain von $f$” sagt man auch Wertebereich von $f$ oder Komponentenbereich von $f$ oder Gliederbereich von $f$ oder Bild unter $f$

• Sind die Funktionswerte von $f$ für ungleiche Argumente ungleich, dann nennt man $f$ injektiv und bezeichnet mit $f^{-1}$ ihre Inverse$\colon x\mapsto y~:\Longleftrightarrow ~f\colon y\mapsto x$
  

• Mengentheoretisch gesehen bestehen Funktionen aus geordneten Paaren: $(x,y)\!\in \!f:\Longleftrightarrow f\colon x\mapsto y$

Funktionsart ($\Phi$), Funktionsklasse

• $f$ ist eine Funktion aus $A,$ wenn ${}{}^{\mathbf {D} }\!\!f\subseteq A,$$~~~~~$total aus $A,$ wenn ${}^{\mathbf {D} }\!\!f=A,$$~~~~~$in $B,$ wenn ${}^{\mathbf {C} }\!\!f\subseteq B,$$~~~~~$surjektiv in $B,$ wenn ${}^{\mathbf {C} }\!\!f=B,$$~~~~~$bijektiv in $B,$ wenn $f$ injektiv und surjektiv in $B$
  
  

	Funktionsart verbal		Funktionsart formal ($\Phi$)
$f$ ist eine	(injektive) Funktion   (injektive) Funktion (total) aus $A$   (injektive) Funktion (sujektiv) in $B$   (injektive) Funktion (total) aus $A$ (sujektiv) in $B~~~~~$	$~~~~~\equiv ~~~~~f\colon \,$	$~\to ~~~$auf den Pfeil kann “$\mathbf {i}$” für injektive Funktionen gesetzt werden $~A\!\to ~~~$“$\mathbf {t}$” für Funktionen total aus $A,~$“$\mathbf {i}$” bei Bedarf $~\to \!B~~~$“$\mathbf {s}$” für Funktionen surjektiv in $B$, “$\mathbf {b}$” für Funktionen bijektiv in $B,~$“$\mathbf {i}$” bei Bedarf    $~A\!\to \!B~~~$“$\mathbf {t}$”,“$\mathbf {s}$”,“$\mathbf {b}$”,“$\mathbf {i}$” bei Bedarf	durchstrichener  Buchstabe wenn man  hervorheben möchte,  dass er nicht zutrifft
			Alternative Pfeile: $~~{\overset {\text{tot}}{\underset {\text{inj}}{\boldsymbol {\longrightarrow }}}},\rightarrowtail$ für ${\overset {\mathbf {ti} }{\boldsymbol {\to }}};~~~~~{\overset {\text{tot}}{\underset {\text{surj}}{\boldsymbol {\longrightarrow }}}},\twoheadrightarrow$ für ${\overset {\mathbf {ts} }{\boldsymbol {\to }}};~~~~~{\overset {\text{tot}}{\underset {\text{bij}}{\boldsymbol {\longrightarrow }}}},{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }$ für ${\overset {\mathbf {tb} }{\boldsymbol {\to }}};~~~~~{\overset {\text{tot}}{\boldsymbol {\longrightarrow }}},\to$ für ${\overset {\mathbf {t} }{\boldsymbol {\to }}};~~~~~\rightharpoonup ,\rightsquigarrow$ für ${\overset {\cancel {\mathbf {t} }}{\boldsymbol {\to }}}$

• $\{f\mid f\colon \Phi \}~$ nennt man Funktionsklasse und schreibt dafür kurz ${\boldsymbol {[}}\Phi {\boldsymbol {]}}$

Auf Funktionen Basierendes

Tupel, Folgen

• $~\overbrace {{\boldsymbol {[}}~~\underbrace {\{i\}_{i=1}^{\infty }{\overset {\mathbf {t} }{\boldsymbol {\to }}}} _{\text{Funktionsart}}~~{\boldsymbol {]}}} ^{\text{Funktionsklasse}}\ni t$ heißt unendliches Tupel oder unendliche Folge und wird so notiert: $\langle t_{\centerdot i}\rangle _{i=1}^{\infty }$ oder so: $\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overbrace {\langle t_{\centerdot 1},\cdots t_{\centerdot k},\cdots \rangle } ^{\qquad {\text{ wenn weitere Glieder aus den ersten k ersichtlich}}}$

• $~{\boldsymbol {[}}\{i\}_{i=1}^{n\geq 0}{\overset {\mathbf {t} }{\boldsymbol {\to }}}{\boldsymbol {]}}\ni t$ heißt $n$-Tupel oder $n$-gliedrige Folge und wird so $\langle t_{\centerdot i}\rangle _{i=1}^{n}$ oder so $\langle t_{\centerdot 1},\cdots t_{\centerdot n}\rangle$ notiert.   2-, 3-, 4-, $\cdots$ Tupel/Folgen nennt man auch Dupel, Tripel, Quadrupel, $\cdots$.
  

Notiert werden Tupel/Folgen auch mit anderen Klammern oder ohne Klammern, auch mit andrem Trennsymbol oder ohne Trennsymbol. Das Leerzeichen zählt nicht zu den Trennsymbolen.

Kartesisches Produkt, kartesische Potenz

• Allgemeines kartesisches Produkt von $F$$\colon \to \{C\mid C$ ist eine Klasse$\}~$$:=$$F^{\times }\!\!:=\{f\colon {}^{\mathbf {D} }\!\!F\!\to \,\mid \forall i\!\in \!{}^{\mathbf {D} }\!\!F\colon f_{\centerdot i}\!\in \!F_{\centerdot i}\}$.

• Ist ${}^{\mathbf {D} }\!\!F$eine Ganzzahl-Indexmenge, dann heißt $F^{\times }$ (gewöhnliches) kartesisches Produkt von $F$, so notiert:

${\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }},$ wenn $^{\mathbf {D} }\!\!F=\emptyset ,$

${\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}F_{\centerdot 1}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }},$ wenn $^{\mathbf {D} }\!\!F=\{1\},~$

sonst ${\Biggr \{}\!$	wenn $^{\mathbf {D} }\!\!F$${\displaystyle }$ endlich: $\quad ~{\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}F_{\centerdot i}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}_{i=1}^{n}~~$oder explizit so:$~~{\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}F_{\centerdot 1},F_{\centerdot 2},\cdots F_{\centerdot n}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}{\text{ oder so: }}F_{\centerdot 1}\!\times F_{\centerdot 2}\!\times \cdots F_{\centerdot n},$	${\Biggr \}}$	Sind $m$ aufeinanderfolgende Glieder gleich: $A:=F_{\centerdot i}\!=\!F_{\centerdot i+1}\!=\!\cdots F_{\centerdot i+m-1},$ dann schreibt man dafür $A^{m{\boldsymbol {\times }}}$
	wenn $^{\mathbf {D} }\!\!F$ unendlich: $~{\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}F_{\centerdot i}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}_{i=1}^{\infty }~~$oder explizit so:$~~\underbrace {{\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}F_{\centerdot 1},\cdots F_{\centerdot k},\cdots {\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}{\text{ oder so: }}F_{\centerdot 1}\!\times \cdots F_{\ k}\!\times \cdots } _{\text{wenn die weiteren Glieder aus den ersten k ersichtlich}}$

• Hat $^{\mathbf {C} }\!\!F$ nur ein Element: $~^{\mathbf {C} }\!\!F=\{A\},$ dann heißt $F^{\times }$ ${}^{\mathbf {D} }\!\!F$-te kartesische Potenz von $A$, so notiert: $A^{{}^{\mathbf {D} }\!F}.~$ Anmerkung: $~A^{n\times }{\color {Red}{\boldsymbol {=}}}~A^{\overset {\centerdot }{n}},~$ jedoch $~A^{n\times }\!\!\times \!B~{\color {Red}{\boldsymbol {\not =}}}~A^{\overset {\centerdot }{n}}\!\times \!B.$

Funktionen als Tripel

Die Aussagen $\varphi =f\colon A\to B$ oder $=f\colon \to B$ scheibt man auch als Tripel: $(f,A,B)$ respektive Dupel: $(f,B)$ und nennt sie Funktionen. Die erste Kompnente so einer Funktion heißt ihr Graph: $\mathbf {G} _{\varphi }$

Funktionseinschränkungen

• Einschränkung von ${}^{\mathbf {D} }\!\!f$ auf $X$ und ${}^{\mathbf {C} }\!\!f$ auf $Y$ $~:=~f|_{X}|_{Y}~:=~\{x\mid x\!\in \!f\land {}^{\text{left}}\!x\!\in \!X\land {}^{\text{right}}\!x\!\in \!Y\}$
• Einschränkung von ${}^{\mathbf {D} }\!\!f$ auf $X$ $~:=~f|_{X}~:=~f|_{X}|_{{}^{\mathbf {C} }\!f}$
• Einschränkung von ${}^{\mathbf {C} }\!\!f$ auf $Y$ $~:=~f||_{Y}~:=~f|_{{}^{\mathbf {D} }\!f}|_{Y}$

Beschreibung von Funktionen

Funktionen mit nur einem Parameter

Mit Angabe eines Funkktionsnamen

Funktionsbenennung	Funktionsbeschreibung	Beispiele mögliche Notierungen von Funktionswerten	style="width:110px;" Funktionsart
1. Quadratzahl-Funktion	$\underbrace {{\text{quad}}\colon } _{\mathbf {A} }~~~\underbrace {\mathbb {Z} \ni } _{\mathbf {B} }~z\mapsto \underbrace {z\!\uparrow \!2} _{\mathbf {C} }~:=~\underbrace {\ z^{2}} _{\mathbf {C} }:=\underbrace {z\!\cdot \!z} _{\mathbf {D} }~$ $\mathbf {A}$ = Funktionsnamen Angabe $\mathbf {B}$ = Quellbereich Angabe (kann entfallen, wenn der Quell-         bereich aus dem Kontext hervorgeht) $\mathbf {C}$ = spezieller Term für den Funktionswert $\mathbf {D}$ = Funktionswert Definition	${\displaystyle }$siehe Basisbegriffe erster Punkt: “so notiert:”$\quad ~~~$spezielle Terme $\overbrace {{\text{quad}}(3)={\text{quad}}\ 3={\text{quad}}_{\centerdot 3}} =\overbrace {3\!\uparrow \!2=3^{2}} ~~\triangleright \!=9$	$\mathbb {Z} {\overset {\mathbf {t} }{\boldsymbol {\to }}}\mathbb {N}$ 2 spezielle Terme
2. Fakultät-Funktion	${\color {Black}{\text{fkt}}\colon \mathbb {N} \ni \,n\mapsto {\boldsymbol {!}}n~:=~{\begin{cases}1,{\text{ wenn }}n=0\\n\cdot {\boldsymbol {!}}(n\!-\!1),{\text{ sonst}}\end{cases}}}$	${\text{fkt}}(5)={\text{fkt}}\ 5={\text{fkt}}_{\centerdot 5}={\boldsymbol {!}}5~~~~~\triangleright \!=120$	$\mathbb {N} {\overset {\mathbf {t} }{\boldsymbol {\to }}}\mathbb {N}$ 1 spezieller Term
3. Identität-Funktion ${\boldsymbol {\Omega }}$ die Klasse aller Objekte	${\mathbf {id} }\colon {\boldsymbol {\Omega }}\ni x\mapsto x$	$\mathbf {id} (\pi )=\mathbf {id} \ \pi =\mathbf {id} _{\centerdot \pi }~~~~~\triangleright \!=\pi$	${\boldsymbol {\Omega }}{\overset {\mathbf {tb} }{\boldsymbol {\to }}}{\boldsymbol {\Omega }}$ kein spezieller Term

Ohne Angabe eines Funkktionsnamen (mindestens ein spezieller Term erforderlich)

4. Potenzmengen-Funktion $\mathbb {M}$ die Klasse der Mengen	$\mathbb {M} \ni \,M\mapsto {\boldsymbol {\wp }}\,M~:=~2^{M}~:=~\{m\mid m\subseteq M\}$	${\boldsymbol {\wp }}\,\{1,2\}=2^{\{1,2\}}~~\triangleright \!=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$	$\mathbb {M} {\overset {\mathbf {ti} }{\boldsymbol {\to }}}\mathbb {M}$ 2 spezielle Terme
5. Anzahl-Funktion $^{\mathbf {e} }\!\mathbb {M}$ die Klasse der endlichen Mengen	$^{\mathbf {e} }\!\mathbb {M} \ni \,E\mapsto \!{\boldsymbol {\vert }}E{\boldsymbol {\vert }}~:=~{\begin{cases}0,{\text{ wenn }}E=\emptyset \\{\text{sonst }}{\boldsymbol {\vert }}E\!\setminus \!\{x\in E\}{\boldsymbol {\vert }}+1~~\end{cases}}\!\!\!\!$	${\boldsymbol {\vert }}\{1,2\}{\boldsymbol {\vert }}~~\triangleright \!=2$	$^{\mathbf {e} }\!\mathbb {M} {\overset {\mathbf {ts} }{\boldsymbol {\to }}}\mathbb {N}$ 1 spezieller Term

Funktionen mit mehreren Parametern

• Sind sämtliche Elemente im Domain von $f$ $n$-Tupel, $n\!>\!1$, dann nennt man $f$ $n$-stellig.   Für 2-stellig, 3-stellig, 4-stellig, $\cdots$  sagt man auch binär, tertiär, quartär, $\cdots$.

Den Funktionswert einer $n$-stelligen Funktion für das Argument $\langle {a_{1}},\cdots {a_{n}}\rangle$ kann man auch als Parameterreihe notieren: $~{\bar {a}}_{1}\!\dots {\bar {a}}_{n}$  wobei ${\bar {a}}_{i}={a}_{i}$ oder ${\bar {a}}_{i}=({a}_{i})$, Letzteres immer dann, wenn Eindeutigkeit gewahrt werden muss.

6. Potenz-Funktion	${p}\colon \mathbb {Z} \!\!\times \!\!\mathbb {R} \ni \underbrace {n\,r} _{\mathbf {A} }\ \mapsto {r\!\uparrow \!n~:=~r^{n}}\!~:=~{\begin{cases}1,{\text{ wenn }}n=0\\r\!\cdot \!p(\langle n\!-\!1,r\rangle ),{\text{ wenn }}n\!>0\\{\frac {1}{p(\langle -n,r\rangle )}},{\text{ wenn }}n\!<0,\ r\!\not =\!0\end{cases}}$ $\mathbf {A}$ ist ein Parametertupel: ohne Klammern, ohne Trennzeichen, nur freie Variablen	$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~$Parameterreihe ${p(\langle 10,2\rangle )=p\langle 10,2\rangle =p_{\centerdot \langle 10,2\rangle }}=\overbrace {(10)2} ={2\!\uparrow \!10=2^{10}}~~~~~\triangleright \!=1024$	$\mathbb {Z} \!\times \!\mathbb {R} {\overset {\mathbf {s} }{\boldsymbol {\to }}}\mathbb {R}$ 2 spezielle Terme
7. Ausschneide-Funktion $\mathbb {F}$ die Klasse der Folgen	$\mathbb {F} \!\!\times \!\!\mathbb {N} _{+}^{2\times }\!\ni F\ m\ n$$~\mapsto F_{m}^{n}~:=~\langle F_{\centerdot m},\cdots F_{\centerdot n}\rangle ,{\text{ wenn }}m\!\leq \!n$	$\overbrace {{\langle a,b,c,d\rangle }(q\!-\!1)(q\!+\!1)} ^{\text{Parameterreihe}}=\overbrace {\langle a,b,c,d\rangle _{q-1}^{q+1}} ^{\text{spezieller Term}}~~~~\triangleright \!=\langle b,c,d\rangle {\text{ wenn }}q\!=\!3$	$\mathbb {F} \!\times \!\mathbb {N} _{+}^{2\times }\!{\overset {\mathbf {} }{\boldsymbol {\to }}}\mathbb {F}$ 1 spezieller Term
8. Verkettungs-Funktion	$[\to ]^{2\times }\!\ni f\ g\mapsto f\!\circ \!g~:=~\{(x,f(g(x)))\!\mid x\in {}^{\mathbf {D} }\!\!g\land g(x)\in {}^{\mathbf {D} }\!\!f\}$	$\overbrace {(\mathbb {N} \ni n~\mapsto n^{2})(\mathbb {R} \ni x\mapsto 2x)} ^{\text{Parameterreihe}}=\overbrace {(\mathbb {N} \ni n\mapsto n^{2})\!\circ \!(\mathbb {R} \ni x\mapsto 2x)} ^{\text{spezieller Term}}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \triangleright \!=(\mathbb {N} \ni n\mapsto 4n^{2})~$	$[\to ]^{2\times }\!{\overset {\mathbf {ts} }{\boldsymbol {\to }}}[\to ]$ 1 spezieller Term
9. Konkatenation-Funkt. $^{\mathbf {e\!} }\mathbb {F}$ die Klasse der endl. Folgen	$^{\mathbf {e\!} }\mathbb {F} ^{2\times }\!\ni u~v\mapsto {\begin{cases}\!u,{\text{ wenn }}|v|=0,\\\!v,{\text{ wenn }}|u|=0,\\\!\langle u_{\centerdot 1},\cdots u_{\centerdot |u|},v_{\centerdot 1},\cdots v_{\centerdot |v|}\rangle ,{\text{ sonst}}\end{cases}}\!\!\!\!$	$\overbrace {\langle a,b,c\rangle \langle \rangle } ^{\text{Parameterreihe}}~~~\triangleright \!=\langle a,b,c\rangle$	$^{\mathbf {e\!} }\mathbb {F} ^{2\times }\!{\overset {\mathbf {ts} }{\boldsymbol {\to }}}{}^{\mathbf {e\!} }\mathbb {F}$ kein spezieller Term

Allgemeine Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

• $f$ heißt idempotent, wenn $f\!\circ \!f=f\qquad$ (zu $\circ$ siehe Beispiel 8)
• $f$ heißt Involution, wenn $f\!\circ \!f\subset \mathbf {id} \qquad$ (zu $\mathbf {id}$ siehe Beispiel 3)
  

• $f$ heißt Halbgruppe, wenn ${}^{\mathbf {D} }\!\!f={}^{\mathbf {C} }\!\!f^{2\times }$ und für alle $u,v,w\in {}^{\mathbf {C} }\!\!f$ gilt: $(uv)w=u(vw)\qquad$(Funktionswert als Parameterreihe notiert)
• Eine Halbgruppe, $h$, heißt Monoid, wenn ${}^{\mathbf {C} }\!h$ ein Element, $n$, enthält, für das für alle $u\in {}^{\mathbf {C} }\!h$ gilt: $nu=un=u$. Es wird neutrales Element von $h$ genannt.
• Ein Monoid, $m$, heißt Gruppe, wenn ${}^{\mathbf {C} }\!m$ zu jedem seiner Elemente, $u$, ein Element $v$ enthält, für welches $uv$ das neutrale Element von $m$ ist.
  

• Sind $h_{1},h_{2}$ Halbgruppen, dann heißt

• $f\colon {}^{\mathbf {C} }\!h_{1}{\overset {\mathbf {} }{\boldsymbol {\to }}}{}^{\mathbf {C} }\!h_{2}$ Homomorphismus aus $h_{1}$ in $h_{2}$, so notiert: $f\colon h_{1}{\overset {\thicksim }{\boldsymbol {\to }}}~h_{2}$, wenn für alle $u,v\in {}^{\mathbf {D} }\!\!f$ gilt: $f(uv)=f(u)f(v)$.
• $f\colon {}^{\mathbf {C} }\!h_{1}{\overset {\mathbf {tb} }{\boldsymbol {\to }}}{}^{\mathbf {C} }\!h_{2}$ Isomorphismus aus $h_{1}$ in $h_{2}$, so notiert: $f\colon h_{1}{\overset {\thickapprox }{\boldsymbol {\to }}}~h_{2}$, wenn $f\colon h_{1}{\overset {\thicksim }{\boldsymbol {\to }}}~h_{2}$.
  

• $h_{1},h_{2}$ heißen isomorph, so notiert: $h_{1}\thickapprox h_{2}$, wenn es einen Isomomorphismus aus $h_{1}$ in $h_{2}$ gibt.

Analytische Eigenschaften

• Beschränktheit, Periodizität, Monotonie, Symmetrie, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Glattheit, Holomorphie, Homogenität, Messbarkeit, Integrierbarkeit, Konvexität

Spezielle Funktionen

• Die Elemente in $[\to \!\mathbb {R} ],~[\to \!\mathbb {C} ]$ heißen reellwertige respektiven komplexwertige Funktionen
• Die Funktion $x\mapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}$ heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion, insbesondere lineare Funktion, wenn $n=1$, Quadratische Funktion, wenn $n=2$
• $x\mapsto ax~$ heißt homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität), sie ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
• Sind $P_{1},P_{2}$ Polynomfunktionen, dann nennt man die Funktion $x\mapsto \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{P_{2}(x)}}$ rationale Funktion oder gebrochen-rationale Funktion
• Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen, verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
• Potenzfunktion
• Exponentialfunktion
• Logarithmus
• Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
• Betragsfunktion
• Maximumsfunktion und Minimumsfunktion
• Gaußsche Ganzzahlfunktion

Visualisierung reellwertiger Funktionen

Eine Funktion $\,f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion $f$ kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Paare $(x,f(x))$ ist. Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes $\mathbb {R} ^{2}$ ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen $f\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$, und $g\colon \,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist $f$ stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist $g$ stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

• Beispiele einiger Funktionsgraphen
• 
  Lineare Funktion (genauer: Affine Abbildung)
• 
  Polynomfunktion 5. Grades
• 
  Realteil der komplexen Exponentialfunktion
• 
  Sinusfunktion
• 
  Gaußsche Glockenkurven

Symbolik, formale Notation

$~~~~$Basisbegriffe
$f\colon a\mapsto b$			$f$ ordnet dem Objekt $a$ das Objekt $b$ zu
$f(a),f_{}a,f_{\!\cdot a}$			drei verschiedene Notierungen für den Funktionswert von $f$ für das Argument $a$
${}^{\mathbf {D} }\!\!f$			Domain von $f$
${}^{\mathbf {C} }\!\!f$			Codomain von $f$
$f^{-1}$			Inverse von $f$
$~~~~$Funktionsart
$f\colon \,$	${\overset {\mathbf {} }{\boldsymbol {\to }}}$	$\!f\!$ ist eine	Funktion
	${\overset {\mathbf {i} }{\boldsymbol {\to }}}$		injektive Funktion
	$A\ {\overset {\mathbf {} }{\boldsymbol {\to }}}$	Funktion aus $A$
	$A\ {\overset {\mathbf {i} }{\boldsymbol {\to }}}$	injektive Funktion aus $A$
	$A\ {\overset {\mathbf {t} }{\boldsymbol {\to }}}$	Funktion total aus $A$
	$A\ {\overset {\mathbf {ti} }{\boldsymbol {\to }}}$	injektive Funktion total aus $A$
	${\overset {\mathbf {} }{\boldsymbol {\to }}}\ B$	Funktion in $B$
	${\overset {\mathbf {i} }{\boldsymbol {\to }}}\ B$	injektive Funktion in $B$
	${\overset {\mathbf {s} }{\boldsymbol {\to }}}\ B$	Funktion surjektiv in $B$
	${\overset {\mathbf {b} }{\boldsymbol {\to }}}\ B$	Funktion bijektiv in $B$
	$A\ {\overset {\mathbf {} }{\boldsymbol {\to }}}B$	Funktion aus $A$ in $B$
	$A\ {\overset {\mathbf {t} }{\boldsymbol {\to }}}B$	Funktion total aus $A$ in $B$
	$A\ {\overset {\mathbf {ts} }{\boldsymbol {\to }}}B$	Funktion total aus $A$ surjektiv in $B$
	$A\ {\overset {\mathbf {ti} }{\boldsymbol {\to }}}B$	injektive Funktion total aus $A$ in $B$
	$A\ {\overset {\mathbf {tb} }{\boldsymbol {\to }}}B$	Funktion total aus $A$ bijektiv in $B$
$~~~~$Funktionsklasse
${\boldsymbol {[}}\Phi {\boldsymbol {]}}$			Klasse der Funktionen der Funktionsart $\Phi$
$~~~~$Tupel
${\boldsymbol {\langle }}{\boldsymbol {\rangle }}$			$~0$-Tupel,$~0$-gliedrige Folge
${\boldsymbol {\langle }}a_{i}{\boldsymbol {\rangle }}_{i=1}^{n}$ ${\boldsymbol {\langle }}a_{1},\cdots a_{n}{\boldsymbol {\rangle }}$			$n$-Tupel, $n$-gliedrige Folge
${\boldsymbol {\langle }}a_{i}{\boldsymbol {\rangle }}_{i=1}^{\infty }$ ${\boldsymbol {\langle }}a_{1},\cdots a_{k},\cdots {\boldsymbol {\rangle }}$			unendliches Tupel, unendliche Folge
$~~~~$kartesisches Produkt
${\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}$			$~0$-gliedriges kartesisches Produkt
${\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}A_{i}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}_{i=1}^{n}$ ${\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}A_{1},\cdots A_{n}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}$ $A_{1}\!\times \cdots A_{n}$			$n$-gliedriges kartesisches Produkt
${\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}A_{i}{\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}_{i=1}^{\infty }$ ${\boldsymbol {\langle \!\!\langle }}A_{1},\cdots A_{k},\cdots {\boldsymbol {\rangle \!\!\rangle }}$ $A_{1}\!\times \cdots A_{k}\!\times \cdots$			unendliches kartesisches Produkt
$~~~~$kartesische Potenz
$A^{B}$			$B$-te kartesische Potenz von $A$
$~~~~$Funktionen als Tripel
$(f,A,B)$			gleichbedeutend mit $f\colon A\to B$
$(f,B)$			gleichbedeutend mit $f\colon {}^{\mathbf {D} }\!\!f\to B$
$~~~~$Funktionseinschränkungen
$f|_{X}|_{Y}$			Einschränkung von ${}^{\mathbf {D} }\!\!f$ auf $X$ und ${}^{\mathbf {C} }\!\!f$ auf $Y$
$f|_{X}$			Einschränkung von ${}^{\mathbf {D} }\!\!f$ auf $X$
$f||_{Y}$			Einschränkung von ${}^{\mathbf {C} }\!\!f$ auf $Y$
$~~~~$Algebraische Eigenschaften
$h\colon H{\overset {\boldsymbol {\thicksim }}{\boldsymbol {\to }}}~G$			Homomorphismus aus der Halbgruppe/Gruppe $H$ in die Halbgruppe/Gruppe $G$
$i\colon H{\overset {\boldsymbol {\thickapprox }}{\boldsymbol {\to }}}~G$			Isomorphismus aus der Halbgruppe/Gruppe $H$ in die Halbgruppe/Gruppe $G$
$H\thickapprox G$			Die Halbgruppen/Gruppen $H$ und $G$ sind isomorph

Begriffsgeschichte

Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei Nikolaus von Oresme, der im 14. Jahrhundert Abhängigkeiten sich ändernder Größen (Wärme, Bewegung etc.) graphisch durch senkrecht aufeinander stehende Strecken (longitudo, latitudo) darstellte. Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen Descartes und Fermat, die mit Hilfe der von Vieta eingeführten Variablen die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten. Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel $y=x^{2}$ dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Die erste Umschreibung des Funktionsbegriffs nach dieser Idee stammt von Gregory in seinem 1667 erschienenen Buch Vera circuli et hyperbolae quadratura. Der Begriff Funktion kommt wohl erstmals 1673 in einem Manuskript von Leibniz auf, der in seiner Abhandlung von 1692 De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis auch die Begriffe „Konstante“, „Variable“, „Ordinate“ und „Abszisse“ benutzt. Im Schriftwechsel zwischen Leibniz und Johann I Bernoulli wird der Funktionsbegriff von der Geometrie losgelöst und in die Algebra übertragen. In Beiträgen von 1706, 1708 und 1718 stellt Bernoulli diese Entwicklung dar. 1748 präzisiert Leonhard Euler, ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch Introductio in analysin infinitorum den Funktionsbegriff weiter.

Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder „analytische Ausdruck“ in $x$ eine Funktion dar, zum anderen wird $y(x)$ im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert. 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus „analytischer Ausdruck“ um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise $f(x)$ ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der Normalparabel, bei der jeder nicht-negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für Lagrange sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner Théorie des fonctions analytiques festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem d’Alembert 1747, Euler 1748 und Daniel Bernoulli 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der Definitionsmenge und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch Fourier in seinem 1822 erschienenen Buch Théorie analytique de la chaleur. Ähnliches formuliert Cauchy 1823 in Résumé des leçons … sur le calcul infinitésimal.

Als die Analysis im 19. Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, wurden Eigenschaften, die bisher als für Funktionen konstituierend aufgefasst wurden, in einem Exaktifizierungsprozess als selbständige Begriffe eingeführt und vom Funktionsbegriff losgelöst. Dirichlet, ein Schüler Fouriers, formulierte diese neue Sicht: „Ideen an die Stelle von Rechnungen“ und stellte 1837 seine Ideen dar. Stokes führte in Arbeiten 1848 und 1849 ähnliche Ansichten aus. So verfuhr Riemann, Schüler von Dirichlet, 1851 in Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe mit der Stetigkeit, später folgten Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit. Eine Zusammenfassung dieser Entwicklung macht Hankel 1870 in Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen. Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion $f$ und dem Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$ unterschieden.

Weierstraß, Dedekind und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper ($\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$) oder auch Potenzen davon ($\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {C} ^{n}$), andererseits ist es in der Booleschen Algebra gebräuchlich, von Booleschen Funktionen zu sprechen.

Weitere Synonyme für Funktion in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operator in der Analysis, Operation, Verknüpfung und (etwas verallgemeinert) Morphismus in der Algebra.

Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält, als Funktion gelten. Mengentheoretisch ausgedrückt werden Funktionen also als rechtseindeutige Relationen definiert.

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
• Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exakt Sciences. 16 Springer Verlag, Berlin 1976.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Funktion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien