Eulersche Winkel oder auch Eulerwinkel sind eine Möglichkeit zur Beschreibung der Orientierung (Winkellage) von Objekten im dreidimensionalen Raum. Es handelt sich um drei Winkel, welche jeweils eine Drehung (Rotation) um bestimmte Achsen beschreiben und so eine Transformation zwischen zwei (kartesischen) Koordinatensystemen, dem Laborsystem und dem körperfesten System, definieren.

Definition

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Es existieren verschiedene Definitionen für die Eulerschen Winkel, die sich in der Wahl der drei Drehachsen unterscheiden, wobei darauf zu achten ist, daß die Achsen von zwei aufeinanderfolgenden Drehungen verschieden sein müssen. Deshalb ergeben sich 3*2*2 = 12 Möglichkeiten. Von diesen 12 möglichen Beschreibungen haben sich die folgenden etabliert:

„x-Konvention“ (Z,X’,Z’’)

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Zuerst wird um einen Winkel   um die  -Achse des Laborsystems ( ) gedreht. Es folgt eine Rotation um den Winkel   um die neue (d.h. gedrehte)  -Achse ( ) und schließlich um den Winkel   um die neueste (d.h. durch die beiden vorherigen Drehungen erhaltene)  -Achse  .

Diese Prozedur läßt sich mathematisch durch eine Drehmatrix darstellen. Die Drehmatrix, die die körperfesten in die raumfesten kartesischen Koordinaten überführt, lautet:

 

 

„y-Konvention“ (Z,Y’,Z’’)

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Zuerst wird um einen Winkel   um die  -Achse des Laborsystems ( ) gedreht. Es folgt eine Rotation um den Winkel   um die neue (d.h. gedrehte)  -Achse ( ) und schließlich um den Winkel   um die neueste (d.h. durch die beiden vorherigen Drehungen erhaltene)  -Achse  .

ie Drehmatrix, die die körperfesten in die raumfesten kartesischen Koordinaten überführt, lautet:  

 

Verwendung der Drehmatrizen

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Alle Drehungen, die hier vorkommen, sind Drehungen um eine durch den Nullpunkt laufende Achse. Für die entsprechenden Matrizen   (zum Beispiel   oder  ) gilt die Transformation Vektor_raumfest= *Vektor_körperfest. Für eine Rotationsmatrix   gilt bekanntlich:  , also auch: Vektor_ körperfest = *Vektor_raumfest.

„RPY-Konvention“ (Roll-Pitch-Yaw, X,Y’,Z’’), Luftfahrtnorm (DIN 9300)

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In der Luftfahrtnorm ist die Transformation vom erdfesten (geodätischen, Labor-) System mit dem Index   in das flugzeugfeste (körperfeste) System mit dem Index   über die drei Lagewinkel  ,   und   definiert:

  • Der Gierwinkel (Steuerkurs, Azimut, heading, yaw angle, azimuth angle)   dreht um die  -Achse, wobei die  - -Ebene in sich selber übergeht. Dabei wird die  -Achse in die Knotenachse   (siehe beiliegende Darstellung) und die  -Achse in die Knotenachse   überführt. Winkelwertebereich:  
  • Der Nickwinkel (Längsneigung, pitch angle, inclination angle)   dreht um die  -Achse, wobei die  - -Ebene in sich selber übergeht. Dabei wird die  -Achse in die  -Achse und die  -Achse in die Knotenachse   überführt. Winkelwertebereich:  
  • Der Rollwinkel (Querneigung, Hängewinkel, roll angle, bank angle)   dreht um die  -Achse, wobei die  - -Ebene in sich selber übergeht. Dabei wird die  -Achse in die  -Achse und die  -Achse in die  -Achse überführt. Winkelwertebereich:  
 
Lagewinkel-Drehung vom erdfesten (Index g) ins flugzeugfeste (Index f) Koordinatensystem

Die Transformationsmatrix setzt sich dann aus den drei Einzeldrehmatrizen für die jeweiligen Winkel zusammen. Dabei ist die Drehreihenfolge von rechts nach links zu lesen; also in der Reihenfolge  :


 

 

Herleitung im allgemeinen Fall

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Für eine beliebige Wahl der Drehachsenreihenfolge kann die sich ergebende Drehmatrix durch die Zuhilfenahme des folgenden Zusammenhangs einfach hergeleitet werden:

Die Drehmatrizen um die globalen Achsen sind bekannt. Wenn nun um eine bereits verdrehte Achse erneut gedreht werden soll, dann entspricht das der Drehmatrix um die entsprechende globale Achse, allerdings in einer transformierten Vektorbasis. Die Transformationsmatrix (Basiswechselmatrix) ist dabei gerade die vorhergehende Drehung.

Seien   und   zwei Drehmatrizen um die beiden globalen Achsen   und  . Zur Berechnung der Drehmatrix zu der Reihenfolge   beobachtet man, dass die Drehmatrix für die zweite Drehung um   der basistransformierten Matrix   entsprechen muss. Dadurch erhält man für die resultierende Gesamtdrehmatrix  . Für eine größere Anzahl von Drehungen erfolgt der Nachweis analog.

Durch diese Darstellung ergibt sich, dass sich die Drehmatrix für eine beliebige Drehreihenfolge in nacheinander verdrehten Achsen durch die einfache Multiplikation von Drehmatrizen um globale Koordinatenachsen ergibt - allerdings in umgekehrter Reihenfolge.

Ergebnis, Interpretation

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Das erhaltene Koordinatensystem mit den Achsen  ,   und   ist das sogenannte körperfeste System. Die Winkel   und   geben dabei die Lage der  -Achse gegenüber dem körperfesten System an ("Drehung" und "Kippung", der Winkel   beschreibt die Eigendrehung des Körpers um sie. Dem entsprechen folgende Namenskonventionen:

Mathematische Eigenschaften

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Die Abbildung, die den Euler-Winkeln die zugehörige Drehmatrix zuordnet, besitzt kritische Punkte; in diesen Punkten ist die Zuordnung nicht lokal umkehrbar, man spricht von Gimbal Lock. Im Fall der x- oder y-Konvention tritt dies auf, wenn der zweite Winkel gleich null ist, der Drehvektor der ersten Drehung ist dann gleich dem Drehvektor der zweiten Drehung. Das bedeutet, dass für eine Rotation um die  -Achse beliebig viele Eulerwinkel mit   existieren.

Bei der Definition der Lagewinkel nach der Luftfahrtnorm liegen die kritischen Punkte bei  .

Nachteile, Alternativen

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Zur Darstellung von Drehungen haben Eulerwinkel mehrere Nachteile:

  • oben erwähnte Singularität führt dazu, dass eine einzige Drehung durch unterschiedliche Eulerdrehungen ausgedrückt werden kann. Dies führt zu einem Phänomen, das als Gimbal Lock bekannt ist.
  • die korrekte Kombination von Drehungen im Euler-System ist nicht intuitiv anzugeben, da sich die Drehachsen verändern.
  • eine glatte Interpolation zwischen Drehungen ist in einem koordinaten-unabhängigen Weg nur schwer anzugeben

Andere Möglichkeiten, die Orientierung zu beschreiben und teils diese Nachteile zu umgehen, sind Rotationsmatrizen oder Quaternionen.

Anwendungen

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In der Theoretischen Physik werden die Eulerschen Winkel zur Beschreibung des Starren Körpers benutzt.

In der Kristallographie werden die Eulerschen Winkel zur Beschreibung der Kreise des Röntgendiffraktometers und zur Beschreibung der Orientierungsdichteverteilungsfunktion von Texturen verwendet.

In der Astronomie sind die Eulerschen Winkel unter anderen Bezeichnungen als Bahnelement eines Objekts geläufig.

In der Computergrafik werden die Eulerschen Winkel zur Beschreibung der Orientierung eines Objektes verwendet.

In der Festkörper-NMR werden die Eulerschen Winkel zu theoretischen Beschreibung und zur Simulation von Spektren benutzt.

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