Benutzer:Der Overmind/Newtonsches Kugelschalentheorem

Die äquivalenten Anziehungskräfte zweier Massen

Das Newtonsche Kugelschalentheorem, manchmal auch Newtonsches Schalentheorem (benannt nach Sir Isaac Newton), ist eine Folgerung des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Das Theorem wurde bereits in Newtons Philosophiae Naturalis Principia Mathematica bewiesen. Eine allgemein relativistische Verallgemeinerung ist das sogenannte Birkhoff-Theorem.

Aussage und Problemstellung

Das Newtonsche Gravitationsgesetz betrachtet zwei Massen in einem Abstand $r$ voneinander. Bei zwei ausgedehnten Körpern müssten die Massenanziehung aller Volumenelemente aufaddieren um die resultierende gravitative Anziehung zu berechnen. Für Kugeln und Kugelschalen lässt sich das Problem gemäß dem Newtonschen Kugelschalentheorem wie folgt vereinfachen:

• Befindet sich ein Körper der Masse $m$ außerhalb einer Kugel, oder einer Kugelschale, mit Masse $M$, so verspürt er die selbe gravitative Anziehung, als sei die gesamte Masse $M$ im Zentrum der Kugel, oder der Kugelschale, in einem Punkt zentriert.
  • Dieser Teil des Theorems ermöglicht es, sphärisch-symmetrische Körper als sogenannte Punktmassen zu betrachten. Damit vereinfachen sich viele Probleme der Newtonschen Mechanik. In, für viele Problemstellungen hinreichend guter, Approximation kann dies für Planeten, Sterne und Monde angewandt werden.
• Befindet sich ein Körper der Masse $m$ innerhalb einer Kugelschale, mit Masse $M$, so verspürt er keine, von der Kugelschale selber ausgehende, gravitative Wirkung.
  • Innerhalb der Kugelschale ist der Körper allerdings nicht frei von jeder gravitativen Wirkung, da sich die Gravitationskraft nach Newton nicht abschirmen lässt. Es handelt sich im Inneren der Kugelschale also nicht um einen gravitativen Faradayschen Käfig. Gravitative Kräfte von außerhalb der Kugelschale wirken auf den Körper in der Kugelschale weiterhin.

Beweis

Die Kugelschale habe einen Radius $R$, eine Masse $M$ und eine Dicke $dR$. Schneidet man aus dieser Kugelschale eine Scheibe, mit einer infinitesimalen Dicke $dx$ und einem Radius $y$ hinaus, so entsteht ein Kugelring mit einer infinitesimalen Breite $ds$. Die Masse dieses Rings wird dann berechnet als:

$dM=2\pi \rho dsdR.$

Hier beschreibt $\rho$ die Massendichte der Kugelschale. Sie wird im nachfolgenden Beweis als homogen angenommen. Mit einer inhomogenen Massendichte wäre der Körper nicht mehr symmetrisch und das Newtonsche Kugelschalentheorem wäre ungültig. Es bietet sich an, das Problem an dieser Stelle in Polarkoordinaten zu betrachten. Dafür sei $dx=\sin {\theta }ds$ und $y=R\sin {\theta }$. Dann lässt sich obige Gleichung umschreiben zu:

$dM=2\pi \rho RdxdR.$

Nun befinde sich ein Körper der Masse $m$ in einem Abstand $r$ von dem Ring. Gemäß des Newtonschen Gravitationsgesetzes üben beide Körper eine gleichwertige Kraft aufeinander aus. Der infinitesimale Ring trägt einen Beitrag zur potentiellen Energie $dE$ des Körpers mit Masse $m$. Dieser Beitrag ist:

$dE=-{\frac {GmdM}{r}}.$

Dabei ist $G$ die Newtonsche Gravitationskonstante. Die gesamte potentielle Energie des Körpers ist über ein Integral berechenbar:

$E=-2\pi GmRdR\int _{-R}^{R}{\frac {dx}{r}}.$

Sei nun $a$ der Abstand der Masse $m$ zum Mittelpunkt der Kugelschale, dann lässt sich das Integral über: $r^{2}=y^{2}+(R-x)^{2},$ umwandeln zu einem Integral über $r$, mit $rdr=-adx$.

Potentielle Energie außerhalb der Kugelschale

In einem Koordinatensystem in dem der Mittelpunkt der Kugelschale der Ursprung ist, spannt sich die Kugelschale von $-R$ bis $R$. Sei $a$ in diesem Koordinatensystem o.B.d.A positiv. Ist der Körper also außerhalb der Kugelschale, dann werden die Integralgrenzen zu: $r=a+R$ und $r=a-R$. Die gesamte potentielle Energie berechnet sich zu:

$E={\frac {2\pi \rho RdRm}{R}}\int _{a+R}^{a-R}dr,$

Die Gesamtmasse $M$ der Kugelschale berechnet sich zu:

$M=4\pi \rho R^{2}dR,$

und wegen:

$\int _{a+R}^{a-R}=-2R,$

folgt damit:

$E={\frac {-GmM}{a}}.$

Die potentielle Energie hängt also nur von der Masse des Körpers $m$, der Masse der Kugelschale $M$ und dem Abstand des Körpers zum Mittelpunkt der Kugelschale $a$ ab. Das heißt es ist genauso gut möglich, die gesamte Kugelschale als eine Punktmasse im Mittelpunkt der Kugelschale zu betrachten.

Potentielle Energie innerhalb der Kugelschale

In selbigen Koordinatensystem wie im vorherigen Abschnitt, ändert sich lediglich die Orientierung der Integralgrenzen. Damit ergibt sich für die potentielle Energie innerhalb der Kugelschale:

$E={\frac {2\pi \rho RdRm}{R}}\int _{a-R}^{a+R}dr.$

Das Integral ergibt dann:

$\int _{a-R}^{a+R}dr=-2a$

und mit selbiger Masse M:

$M=4\pi \rho R^{2}dR,$

folgt dann:

$E=-{\frac {GmM}{R}}.$

Dieser Ausdruck ist konstant, was impliziert, dass egal wo sich der Körper innerhalb der Kugelschale befindet, die, durch die Kugelschale, ausgeübte gravitative Wirkung immer gleich ist.