Benutzer:Blubberdi/Spielwiese/Streuamplitude

Die Streuamplitude ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )$ ist über den S-Operator $S$ definiert:

$\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle =\delta ^{(3)}\!(\mathbf {p'} -\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;,$

wobei $|\mathbf {p} \rangle$ und $\langle \mathbf {p'} |$ Eigenzustände des Impulsoperators sind. Die Streuamplitude $f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )$ ist nur für $E_{\mathbf {p'} }=E_{\mathbf {p} }$ bzw. $|\mathbf {p'} |=|\mathbf {p} |$ definiert, weil $\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })$ für $E_{\mathbf {p'} }\neq E_{\mathbf {p} }$ null ist. Weiterhin ist der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen. Deshalb kann die Streuamplitude auch als Funktion von der Energie des eingehenden Zustands $E_{\mathbf {p} }$ sowie des Winkels $\vartheta$ zwischen $\mathbf {p}$ und $\mathbf {p'}$ geschrieben werden.

Im folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird.

${\begin{aligned}\psi _{out}&=\int d^{3}\!p'\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle \psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}f(E_{\mathbf {p} },\vartheta )\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\psi _{in}(\mathbf {p} )\end{aligned}}$

Wenn für die eingehende Welle $\psi _{in}$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies folgendes:

$\psi _{out}=e^{ipz}+f(p,\theta ){\frac {e^{ipr}}{r}}$

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.$

Zu dem totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem

$\sigma _{\mathrm {tot} }={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0)$

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt,

$f(\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }(k)P_{\ell }(\cos(\theta ))\;,$

wobei $f_{\ell }(k)$ die partielle Streuamplitude, $P_{\ell }(\cos(\theta ))$ das Legendre-Polynom und $\ell$ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ und die Streuphase $\delta _{\ell }$ ausgedrückt werden:

$f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.$

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude $f_{\ell }$, das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ und die Streuphase $\delta _{\ell }$ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses $k$ sind.

Die Streulänge $a_{\ell }$ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

$f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }p^{2\ell }$

Gewöhnlich wird aber nur die s-Wellen Streulänge $a_{0}$ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.