Die Snell-Einhüllende (auch Snell’sche Hülle ) ist ein Begriff aus der Stochastik und Finanzmathematik . Für einen Prozess
X
{\displaystyle X}
Supermartingal , das
X
{\displaystyle X}
amerikanischer Optionen auf. Sie ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker J. Laurie Snell benannt.
Sei
(
Ω
,
F
,
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)}
filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und
Q
≪
P
{\displaystyle Q\ll P}
P
{\displaystyle P}
absolutstetiges Maß . Ein adaptierter Prozess
U
=
(
U
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}
Snell-Einhüllende des Prozesses
X
=
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}
Q
{\displaystyle Q}
U
{\displaystyle U}
Q
{\displaystyle Q}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
t
≥
X
t
{\displaystyle U_{t}\geq X_{t}}
Q
{\displaystyle Q}
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle t\in [0,T]}
Dominanz )Für jedes
Q
{\displaystyle Q}
V
=
(
V
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}
X
{\displaystyle X}
V
{\displaystyle V}
U
{\displaystyle U}
Minimalität )
Sei
T
=
{
τ
:
Ω
→
[
0
,
T
]
|
τ
Stoppzeit
}
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\tau :\Omega \to [0,T]\,|\,\tau {\text{ Stoppzeit}}\}}
Stopzeiten und
T
t
=
{
τ
∈
T
:
t
≤
τ
≤
T
}
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}=\{\tau \in {\mathcal {T}}:t\leq \tau \leq T\}}
[
t
,
T
]
{\displaystyle [t,T]}
(
Ω
,
F
,
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)}
Sei
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,T]}}
càdlàg -Pfaden und
E
Q
(
sup
t
∈
[
0
,
T
]
X
t
)
<
∞
{\displaystyle E_{Q}(\operatorname {sup} _{t\in [0,T]}X_{t})<\infty }
U
=
(
U
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}
Die Snell-Einhüllende lässt sich in stetiger Zeit darstellen durch
U
t
=
e
s
s
s
u
p
{
E
Q
(
X
τ
|
F
t
)
:
τ
∈
T
t
}
{\displaystyle U_{t}=\operatorname {ess\,sup} \{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}}
P
{\displaystyle P}
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle t\in [0,T]}
wobei
e
s
s
s
u
p
{\displaystyle \operatorname {ess\,sup} }
wesentliche Supremum über die Menge der Zufallsvariablen
{
E
Q
(
X
τ
|
F
t
)
:
τ
∈
T
t
}
{\displaystyle \{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}}
Im Spezialfall diskreter Zeit lässt sich die Snell-Einhüllende unter den obigen Voraussetzungen rekursiv durch
U
T
=
X
T
{\displaystyle U_{T}=X_{T}}
U
t
−
1
=
max
{
X
t
−
1
,
E
Q
(
U
t
|
F
t
−
1
)
}
{\displaystyle U_{t-1}=\max\{X_{t-1},E_{Q}(U_{t}|{\mathcal {F}}_{t-1})\}}
t
=
1
,
.
.
.
,
T
{\displaystyle t=1,...,T}
definieren. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass die obigen drei Bedingungen von diesem Prozess tatsächlich erfüllt werden.
Sei
X
∗
:=
sup
1
≤
n
≤
T
X
n
∈
L
1
(
Ω
)
{\displaystyle X^{*}:=\operatorname {sup} _{1\leq n\leq T}X_{n}\in {\mathcal {L}}^{1}(\Omega )}
T
≤
∞
{\displaystyle T\leq \infty }
![{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b6d2a177076b6622cf15727f29d2dc4463ba19)
![{\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aebe7dfdc93ef20ef9fff1c6209bd8698762de6a)
![{\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5311d6b4399a7d8eea0ce53de69dfee1f65bef96)
![{\displaystyle t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7ea7b28971838e52f450c48053939e81daa26f)
![{\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a92220c5acb59b5996d9c39c7d92e12ca65630)
![{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\tau :\Omega \to [0,T]\,|\,\tau {\text{ Stoppzeit}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ad316432ebf17cf773ad4bb00a094fb3331106)
![{\displaystyle [t,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f17ab9adc51c30d8dc83baf32a2cbc419b1b9f5)
![{\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875dbc5f60b4340e8acd7585ba7a841f9ba0085e)
![{\displaystyle E_{Q}(\operatorname {sup} _{t\in [0,T]}X_{t})<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcc9dabc2d0438d28a9bb5a89b1ddfd16bd6120)
