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Der teleskopische Effekt

Der teleskopische Effekt ist ein physiologischer Effekt der es möglich macht, dass mit einem Teleskop punktförmig erscheinende Objekte und Strukturen heller erscheinen als mit dem bloßen Auge und somit sichtbar werden. Für flächig erscheinende Objekte tritt er nicht auf. Sie werden auf der Netzhaut niemals heller abgebildet als mit dem bloßen Auge.

Strahlenoptische Beschreibung

Quantitativer Strahlungsfluss durch ein Teleskop

Ein astronomisches Objekt mit dem Radius $R$ strahle einen Strahlungsfluss $\Phi _{\varepsilon }$ ab. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir eine homogene Verteilung der Abstrahlung über die gesamte Oberfläche $F=4\pi R^{2}$des Objekts und über den halben vollen Raumwinkel $\Omega _{\mathrm {v} oll}=4\pi$ der möglichen Abstrahlungsrichtungen an. Dann ist die spezifische Ausstrahlung $W_{\varepsilon }$ der Oberfläche des astronomischen Objekts

$M_{\varepsilon }={\frac {\Phi _{\varepsilon }}{4\pi R^{2}}}$

und die dazugehörige Strahldichte $L_{\varepsilon }$

$L_{\varepsilon }={\frac {M_{\varepsilon }}{\frac {\Omega _{\mathrm {v} oll}}{2}}}={\frac {\Phi _{\varepsilon }}{8\pi ^{2}R^{2}}}$.

Ein kreisförmiges Oberflächenelement mit dem Radius $\rho$ und der Fläche $\pi \rho ^{2}$ strahlt dann mit der Strahlstärke $I_{\varepsilon }$

$I_{\varepsilon }=\pi \rho ^{2}L_{\varepsilon }={\frac {\Phi _{\varepsilon }\rho ^{2}}{8\pi R^{2}}}$.

Im Beobachtungssabstand $d$ befinde sich die kreisförmige Aperturblende einer Kamera mit dem Durchmesser $D$. Der Raumwinkel $\omega$, den diese Öffnung aus Sicht des Objekts einnimmt, ist dann (für $D\ll d$) $\omega ={\tfrac {\pi D^{2}}{d^{2}}}$ und der insgesamt ins Objektiv fallende Strahlungsfluss $\Phi _{\mathrm {i} }$

$\Phi _{i}=I_{\varepsilon }\omega ={\frac {\Phi _{\varepsilon }\rho ^{2}}{8\pi R^{2}}}{\frac {\pi D^{2}}{d^{2}}}=M_{\varepsilon }{\frac {\pi D^{2}\rho ^{2}}{2d^{2}}}$

Das Flächenelement mit dem Radius $\rho$ wird in der Bildebene auf ein Flächelement mit dem Radius $b$ abgebildet. Dadurch verteilt sich der Strahlungsfluss $\Phi _{\mathrm {i} }$ auf die zugehörige Fläche $\pi b^{2}$ und es ergibt sich die Bestrahlungsstärke $E_{\mathrm {i} }$

$E_{\mathrm {i} }={\frac {\Phi _{\mathrm {i} }}{\pi b^{2}}}=M_{\varepsilon }{\frac {D^{2}\rho ^{2}}{2b^{2}d^{2}}}$

Hat das Objektiv die Brennweite $f$, wird das Objekt aus der weiten Ferne ($d\gg f$) auf eine Abbildungsfläche im Abstand der Brennweite von der Hauptebene des Kameraobjektivs projiziert, gilt für den Zusammenhang zwischen der Brennweite $f$, der Bildgröße $b$ und dem Objektabstand $d$ das Abbildungsgesetz ${\tfrac {b}{f}}={\tfrac {\rho }{d}}$ bzw.${\tfrac {1}{b}}={\tfrac {d}{\rho f}}$ und somit für die Bestrahlungsstärke

$E_{\mathrm {i} }=M_{\varepsilon }{\frac {D^{2}\rho ^{2}}{2d^{2}}}{\frac {d^{2}}{\rho ^{2}f^{2}}}={\frac {M_{\varepsilon }}{2}}\left({\frac {D}{f}}\right)^{2}$

Der Term ${\frac {D}{f}}$ ist auch als das Öffnungsverhältnis $V$ der Kamera bekannt.

Zusammengefasst gilt also für das Verhältnis zwischen der Bestrahlungsstärke $E_{\mathrm {i} }$ in der Bildebene und der spezifischen Ausstrahlung $M_{\varepsilon }$ der Objektoberfläche:

${\frac {E_{\mathrm {i} }}{M_{\varepsilon }}}={\frac {V^{2}}{2}}$

Für Öffnungsverhältnisse von $V<{\sqrt {2}}$ oder $d<f/0.7$ ist also die Helligkeit des Bilds in der Bildebene, also bspw. auch auf der Netzhaut, immer „dunkler“ als die Oberfläche des Objekts und niemals „heller“ als bei der Beobachtung des Objekts mit dem bloßen Auge. Auch bei der visuellen Beobachtung durch ein Teleskop gilt diese Aussage, denn entweder begrenzt die Apertur des Teleskops oder die des menschlichen Auges ($V_{\mathrm {m} ax}\approx 1/2.5$) die Bildhelligkeit.

punktförmige Objekte

Für „punktförmige“ Objekte, also Objekte, deren Bild kleiner ist als das räumliche Auflösungsvermögen der Abbildungsfläche, also bspw. ein Filmkorn, ein Pixel des Kamerasensors oder eine Sehzelle, gilt trotzdem, dass mit Hilfe eines Teleskops lichtschwächere Objekte sichtbar gemacht werden können. Denn für die wahrgenommene Helligkeit des Pixels ist der gesamte auf die Pixelfläche einfallende Strahlungsfluss entscheidend, der zudem noch über die Belichtungszeit integriert wird.

Nehmen wir an, das Pixel habe eine kreisförmige Form mit dem Radius $\rho$ uns somit die Fläche $\pi \rho ^{2}$. Das Abbildungsgesetz liefert uns den Durchmesser $r$ der Fläche in der Objektebene, die auf diesem Pixel dargestellt wird als $r={\frac {\rho D}{f}}$. Damit können ist der auf das Pixel einfallende Strahlungsfluss $\phi _{\epsilon }(\lambda )$ das Flächenintegral über die Strahldichte $L_{\varepsilon }(\lambda )$ der Oberfläche multipliziert mit dem Öffnungsfaktor ${\frac {d^{2}\pi }{D^{2}}}$, der das Lichtsammelvermögen des Objektivs charakterisiert.

$\phi _{\epsilon }(\lambda )=\int _{A}L_{\varepsilon }(\lambda ){\frac {d^{2}\pi }{D^{2}}}$

Für das Flächenintegral können in erster Näherung die Fälle punktförmig und flächig erscheinender Objekte unterschieden werden.

$\int _{A}\Rightarrow {\begin{cases}2\pi R^{2},&{\text{wenn }}r>R{\text{,}}\\\pi \left({\frac {\rho D}{f}}\right)^{2},&{\text{wenn }}r<R{\text{.}}\end{cases}}$

Im ersten Fall, dem des punktförmig erscheinenden Objekts, kommt der Faktor 2 daher, dass die abstrahlende Fläche eine halben Vollkugel vom Radius $R$ ist, die aufgrund der Krümmung des kugelförmigen Objekts am Rand heller erscheint weil die abstrahlenden Flächenelemente hier dichter aneinander zu liegen scheinen.

Damit wird der auf das Pixel einfallende Strahlungsfluss $\phi _{\epsilon }(\lambda )$

$\phi _{\epsilon }(\lambda )={\begin{cases}2\pi R^{2}L_{\varepsilon }(\lambda ){\frac {d^{2}\pi }{D^{2}}}={\frac {\Phi _{\varepsilon }(\lambda )}{8\pi ^{2}R^{2}}}2\pi R^{2}{\frac {d^{2}\pi }{D^{2}}}={\frac {\Phi _{\varepsilon }(\lambda )}{4D^{2}}}d^{2},&{\text{wenn }}r\gg R{\text{,}}\\{\frac {\pi \rho ^{2}D^{2}}{f^{2}}}L_{\varepsilon }(\lambda ){\frac {d^{2}\pi }{D^{2}}}={\frac {\Phi _{\varepsilon }(\lambda )}{8\pi ^{2}R^{2}}}{\frac {\pi \rho ^{2}D^{2}}{f^{2}}}{\frac {d^{2}\pi }{D^{2}}}={\frac {\Phi _{\varepsilon }(\lambda )}{8R^{2}}}{\frac {\rho ^{2}d^{2}}{f^{2}}}={\frac {\Phi _{\varepsilon }(\lambda )}{8R^{2}}}\rho ^{2}V^{2},&{\text{wenn }}r\ll R{\text{.}}\end{cases}}$

Für flächig erscheinende Objekte ist also - neben Objekteigenschaften - der auf ein Pixel einfallende Strahlungsfluss abhängig von einerseits der Pixelgröße $\rho$, das macht man sich bei fotografischen Aufnahmen von astronomischen Objekten mit Hilfe der Binning-Technik zu Nutze, und andererseits dem Öffnungsverhältnis $V$ der Kamera. Für punktförmig erscheinende Objekte hängt er von der Apertur $d$ der Kamera ab. Je größer diese ist, desto lichtschwächere Objekte erzeugen einen Strahlungsfluss, der ausreicht, um das Objekt wirksam abzubilden.

Thermodynamische Betrachtung

Seien Stern und Teleskopsensor schwarzer Strahler und wir betrachten die innere Energie $U$, so gilt in Abwesenheit anderer Arbeit:

${\mathrm {d} }U=T{\mathrm {d} }S$

bzw. für dessen zeitliche Ableitung:

${\tfrac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }t}}U=T{\tfrac {{\mathrm {d} }S}{{\mathrm {d} }T}}$

Beim schwarzen Strahler ist die Wärmestrahlung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abhängig von der Temperatur $T$ und der Strahlerfläche $A$:

$P=\sigma AT^{4}$

bzw. die auf den Raumwinkel bezogene Strahldichte:

$L={\tfrac {\sigma }{2\pi }}AT^{4}$

Für das als geschlossen angenommene Strahlsystem aus dem Objekt der Temperatur $T_{\mathrm {S} }$ und Fläche $A_{\mathrm {S} }$ und dem Teleskopsensor mit der Temperatur $T_{\mathrm {T} }$ und Fläche $A_{\mathrm {T} }$ gilt also die Strahlungsbilanz unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs ${\tfrac {b}{\rho }}$ und des Öffnungswinkels $\omega$ und Öffnungsverhältnisses $V={\tfrac {D}{f}}$.

$P_{\mathrm {S} \rightarrow T}={\tfrac {\sigma }{2}}(A_{\mathrm {S} }T_{\mathrm {S} }^{4}{\tfrac {D}{d}}^{2}-A_{\mathrm {T} }T_{\mathrm {T} }^{4}{\tfrac {D}{f}}^{2})$

bzw. nach Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabes ${\tfrac {b}{\rho }}={\tfrac {f}{d}}$

$P_{\mathrm {S} \rightarrow T}={\tfrac {\sigma }{2}}(A_{\mathrm {S} }T_{\mathrm {S} }^{4}{\tfrac {D}{d}}^{2}-{\tfrac {f}{d}}^{2}A_{\mathrm {S} }T_{\mathrm {T} }^{4}{\tfrac {D}{f}}^{2})={\tfrac {\sigma }{2}}A_{\mathrm {S} }{\tfrac {D}{d}}^{2}(T_{\mathrm {S} }^{4}-T_{\mathrm {T} }^{4})$