Homogene lineare Differentialgleichung

Homogene lineare Differentialgleichungen sind eine wichtige Klasse linearer Differentialgleichungen. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Form

Hierbei sind die vorgegebene Funktionen, etwa auf einem Intervall, und das hochgestellte steht für die -te Ableitung nach der Variablen . Gesucht ist eine Funktion , die obige Gleichung für alle auf einem vorgegebenen Definitionsbereich erfüllt.

Homogene lineare Differentialgleichungen erster OrdnungBearbeiten

Die homogene lineare Differentialgleichung

 

mit Anfangswert   hat die eindeutige Lösung

 

Homogene lineare Differentialgleichung höherer OrdnungBearbeiten

Konstante KoeffizientenBearbeiten

Zu einer Differentialgleichung

 

mit   betrachtet man ihr „charakteristisches Polynom“  . Dieses habe die Nullstellen   mit zugehörigen Vielfachheiten  . Dann sind alle Lösungen von der Form

 

mit Koeffizienten  .

Allgemeiner FallBearbeiten

Durch die Substitution   lässt sich die homogene lineare Differentialgleichung

 

in das lineare Differentialgleichungssystem

 
 
 
 

überführen. Die Lösungen dieses linearen homogenen Differentialgleichungssystems bilden einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums wird als Fundamentalsystem bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

  1. Die Lösung des Anfangswertproblems   ist  .
  2. Die Differentialgleichung   hat das charakteristische Polynom   und damit die Lösungen  .