Steinitzscher Umordnungssatz

mathematischer Satz
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Der steinitzsche Umordnungssatz (nach Ernst Steinitz) ist ein Satz aus der mathematischen Analysis, der sich mit der Umordnung von Reihen befasst. Während beliebige Umordnungen innerhalb endlicher Summen auf Grund des Kommutativgesetzes und des Assoziativgesetzes keinen Einfluss auf das Ergebnis der Summenbildung haben, ist dies bei unendlichen Summen nicht mehr gewährleistet. Der hier behandelte steinitzsche Umordnungssatz macht eine Aussage über die Struktur der Menge der Summen, die man durch Umordnung bilden kann. Er verallgemeinert den riemannschen Umordnungssatz, der für reelle Reihen gilt, auf Reihen im .

Konvergenzbegriffe für ReihenBearbeiten

Im   kann man wie in den reellen Zahlen von Konvergenz sprechen, denn durch die übliche euklidische Norm hat man einen Abstandsbegriff.

Es sei nun   eine Folge von Vektoren im  . Wenn der Grenzwert der Partialsummen   im   existiert, so schreibt man   für diesen Grenzwert und sagt, die Reihe   sei konvergent. Man beachte, dass für die Reihe und ihren Grenzwert dieselbe Bezeichnung verwendet wird.

Jede Permutation   definiert eine Umordnung, indem man von der Folge   zur Folge   übergeht. Man nennt   eine konvergente Umordnung der Reihe, wenn die umgeordnete Reihe   konvergiert. Man sagt, die Reihe   sei unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung der Reihe konvergent ist.

Die Reihe   heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergent, aber nicht unbedingt konvergent ist. Schließlich heißt die Reihe absolut konvergent, wenn   gilt.

KonvergenzfunktionaleBearbeiten

Ein lineares Funktional   heißt ein Konvergenzfunktional für die Folge  , falls   ist. So ist z. B. das Nullfunktional ein Konvergenzfunktional für jede Folge. Leicht überlegt man sich, dass die Menge aller Konvergenzfunktionale ein Untervektorraum im Dualraum, d. h. im Raum der linearen Funktionale, ist. Dieser Unterraum der Konvergenzfunktionale wird mit   bezeichnet, der Annihilator von   mit  .

Satz von SteinitzBearbeiten

Es sei   eine konvergente Reihe. Dann stimmt   mit dem affinen Unterraum   überein.

Zusatz: Besteht dieser affine Raum aus mehr als einem Punkt, so gibt es nicht-konvergente Umordnungen.

BemerkungenBearbeiten

Ein Satz über konvergente ReihenBearbeiten

Mit Hilfe des Satzes von Steinitz kann man leicht zeigen, dass folgende Aussagen über eine konvergente Reihe   im   äquivalent sind:

  • Die Reihe ist absolut konvergent.
  • Die Reihe ist unbedingt konvergent.
  •  .
  • Jedes lineare Funktional   ist ein Konvergenzfunktional für die Reihe.

Der riemannsche UmordnungssatzBearbeiten

Da jeder nicht-leere affine Unterraum von   entweder aus einem Punkt besteht oder mit   zusammenfällt, erhält man den riemannschen Umordnungssatz als Spezialfall des steinitzschen Umordnungssatzes.

Der unendlich-dimensionale FallBearbeiten

In unendlich-dimensionalen Räumen gelten die hier aufgestellten Konvergenzaussagen für Reihen nicht mehr. In unendlich-dimensionalen Banachräumen gibt es Reihen mit zweielementigen Summenmengen. Man muss zusätzliche Voraussetzungen über die Reihen machen, um zu einer Aussage wie im steinitzschen Umordnungssatz zu gelangen.

QuellenBearbeiten

  • E. Steinitz: Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. Journal für die reine und angewandte Mathematik 143 (1913), 128–175, 144 (1914), 1–40, 146 (1915), 1–52.
  • M. I. Kadets, V. M. Kadets: Series in Banach Spaces. Operator Theory: Advances and Applications, Bd. 94, Birkhäuser (1997), ISBN 978-3764354015.
  • Israel Halperin: Sums of a series, permitting rearrangements. C.R.Math. Acad.Sci., Soc. R. Can., 8: S. 87–102, 1986.