M-Schätzer

M-Schätzer, auch maximum-likelihood-artige Schätzer stellen eine Klasse von Schätzfunktionen dar, die als Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode angesehen werden können. M-Schätzer sind im Vergleich zu anderen Schätzern wie z. B. den Maximum-Likelihood-Schätzern robuster gegen Ausreißer.

Dieser Artikel behandelt M-Schätzer zur Ermittlung des Lageparameters.

Herleitung durch Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode

Das Prinzip von Maximum-Likelihood-Schätzern beruht darauf, die Funktion

$\sum _{i=1}^{n}-\ln f_{X_{i}}(x_{i};\Theta )$

mit entsprechender Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion $f_{X}(x)$ in Abhängigkeit von $\Theta$ zu minimieren.

Die Idee bei M-Schätzern ist, die Funktion $-\ln f_{X_{i}}(x_{i};\Theta )$ durch eine Funktion $\rho (x;\Theta )$ zu ersetzen, welche weniger empfindlich auf Ausreißer reagiert. Aufgabe ist es, den Ausdruck

$\sum _{i=1}^{n}\rho (x_{i};\Theta )$

in Abhängigkeit von $\Theta$ zu minimieren, bzw. die Gleichung

$\sum \psi (x_{i};\Theta )=0$

mit

$\psi (x_{i};\Theta )={\frac {\partial \rho }{\partial \Theta }}(x_{i};\Theta )$

zu lösen.

Jede Lösung dieser Gleichung wird M-Schätzer genannt.

Implizite Definition

Sei $F$ eine beliebige Verteilungsfunktion und $\psi$ eine ungerade und monoton wachsende Funktion ungleich 0. Dann ist $\mu _{\psi }(F)$ definiert als die Lösung $\mu =\mu _{\psi }(F)$ der Gleichung

$\operatorname {E} (\psi (x-\mu ))=\int \psi (x-\mu )dF(x)=0$

Beachtet werden muss, dass abhängig von der Wahl von $\psi$ und $F$ es entweder keine, eine oder mehrere Lösungen geben kann. Im Falle einer konkreten Stichprobe wird $\mu =\mu _{\psi }(F_{n})$, die Lösung von

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\psi (x_{i}-\mu )=\int \psi (x-\mu )dF_{n}(x)=0$

M-Schätzer genannt.

Geeignete Funktionen ρ

Im Folgenden sind die $x_{i}$ gemäß

$z_{i}={\frac {x_{i}-\Theta }{S_{n}}}$

standardisiert, um Skaleninvarianz zu erreichen. $S_{n}$ stellt hierbei einen Streuungschätzer dar, für den meist der MAD (Median Absolute Deviation) verwendet wird.

Methode	$\rho (z)$	$\psi (z)$	$w(z)$
Kleinste-Quadrate-Methode	$\rho _{LS}(z)={\frac {z^{2}}{2}}$	$\psi _{LS}(z)=z$	$w_{LS}(z)=1$
Huber-k-Schätzer	$\rho _{H}(z)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}z^{2}&|z|\leq {}k\\k|z|-{\frac {1}{2}}k^{2}&|z|>k\end{cases}}$	$\psi _{H}(z)={\begin{cases}z&|z|\leq {}k\\k\operatorname {sgn} (z)&|z|>k\end{cases}}$	$w_{H}(z)={\begin{cases}1&|z|\leq {}k\\{\frac {k}{|z|}}&|z|>k\end{cases}}$
Hampel-Schätzer	$\rho _{Ha}(z)={\begin{cases}{\frac {z^{2}}{2}}&|z|\leq {}a\\a|z|-{\frac {a^{2}}{2}}&a<|z|\leq b\\ab-{\frac {a^{2}}{2}}+(c-b){\frac {a}{2}}\left(1-\left({\frac {c-|z|}{c-b}}\right)^{2}\right)&b<|z|\leq c\\ab-{\frac {a^{2}}{2}}+(c-b){\frac {a}{2}}&|z|>c\end{cases}}$	$\psi _{Ha}(z)={\begin{cases}z&|z|\leq {}a\\a\,\operatorname {sgn} (z)&a<|z|\leq b\\a{\frac {c-|z|}{c-b}}\operatorname {sgn} (z)&b<|z|\leq c\\0&|z|>c\end{cases}}$	$w_{Ha}(z)={\begin{cases}1&|z|\leq {}a\\a{\frac {1}{|z|}}&a<|z|\leq b\\a{\frac {c-|z|}{c-b}}{\frac {1}{|z|}}&b<|z|\leq c\\0&|z|>c\end{cases}}$
Andrews wave	$\rho _{Aw}(z)={\begin{cases}{\frac {a^{2}}{\pi ^{2}}}\left(1-\cos \left({\frac {\pi z}{a}}\right)\right)&|z|\leq {}a\\{\frac {2a^{2}}{\pi ^{2}}}&|z|>a\end{cases}}$	$\psi _{Aw}(z)={\begin{cases}{\frac {a}{\pi }}\sin \left({\frac {\pi z}{a}}\right)&|z|\leq {}a\\0&|z|>a\end{cases}}$	$w_{Aw}(z)={\begin{cases}{\frac {a}{\pi z}}\sin \left({\frac {\pi z}{a}}\right)&|z|\leq {}a\\0&|z|>a\end{cases}}$
Tukey's biweight	$\rho _{Tb}(z)={\begin{cases}{\frac {a^{2}}{6}}\left(1-\left(1-{\frac {z^{2}}{a^{2}}}\right)^{3}\right)&|z|\leq {}a\\{\frac {a^{2}}{6}}&|z|>a\end{cases}}$	$\psi _{Tb}(z)={\begin{cases}z\left(1-{\frac {z^{2}}{a^{2}}}\right)^{2}&|z|\leq {}a\\0&|z|>a\end{cases}}$	$w_{Tb}(z)={\begin{cases}\left(1-{\frac {z^{2}}{a^{2}}}\right)^{2}&|z|\leq {}a\\0&|z|>a\end{cases}}$

Die Gewichtsfunktionen im folgenden Bild zeigen die Unterschiede zwischen den Schätzern auf: bei Huber-k haben auch extreme Beobachtungen ein geringes Gewicht, beim Hampel-, Andrews wave- und Tukey's biweight-Schätzer wird extremen Beobachtungen das Gewicht Null zugeordnet.

Gewichtsfunktionen w(z) für verschiedene M-Schätzer. Die Parameterwerte entsprechen den Standardwerten von SPSS.

Robustheit

Bei geeigneter Wahl von $\psi$ (ungerade, beschränkt und monoton steigend) haben M-Schätzer einen Bruchpunkt von $\epsilon ^{*}=0{,}5$.

Numerische Lösungsmethode

Für viele Funktionen $\rho$ lässt sich keine explizite Lösung angeben, sie muss daher numerisch berechnet werden. Wie üblich zur Berechnung von Nullstellenproblemen bietet sich auch hier das Newton-Raphson-Verfahren an, und es ergibt sich folgende Iterationsvorschrift, wobei wiederum $z_{i}={\frac {x_{i}-\mu }{S_{n}}}$ :

$\mu _{k+1}=\mu _{k}+{\frac {S_{n}\sum _{i=1}^{n}\psi (z_{i})}{\sum _{i=1}^{n}\psi ^{\prime }(z_{i})}}$

Als geeigneter Startwert $\mu _{0}$ wird meist der Median verwendet. Dieses Iterationsverfahren konvergiert sehr schnell, meist sind zwei bis drei Iterationsschritte ausreichend.

W-Schätzer

W-Schätzer sind M-Schätzern sehr ähnlich und liefern im Normalfall gleiche Ergebnisse. Der einzige Unterschied liegt in der Lösung des Minimierungsproblems. W-Schätzer werden meist bei der robusten Regression eingesetzt.

Es wird die Wichtungsfunktion

$w(z)={\frac {\psi (z)}{z}}$

mit

$\psi (x_{i};\Theta )={\frac {\partial \rho }{\partial \Theta }}(x_{i};\Theta )$

eingeführt, mit deren Hilfe das Minimierungsproblem umgeschrieben werden kann in

$\sum _{i=1}^{n}z_{i}w(z_{i})=0$

Einsetzen der Definition von $z_{i}$, ausmultiplizieren und umstellen ergibt schließlich über die Fixpunktgleichung

$\Theta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}w({\frac {x_{i}-\Theta }{S_{n}}})}{\sum _{i=1}^{n}w({\frac {x_{i}-\Theta }{S_{n}}})}}$

die Iterationsvorschrift

$\Theta _{t+1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}w({\frac {x_{i}-\Theta _{t}}{S_{n}}})}{\sum _{i=1}^{n}w({\frac {x_{i}-\Theta _{t}}{S_{n}}})}}$

Siehe auch

• Sogenannte RANSAC-Algorithmen

Literatur

• Ricardo A. Maronna, R. Douglas Martin, Victor J. Yohai, Matías Salibián-Barrera: Robust Statistics – Theory and Methods (With R) (= Wiley Series in Probability and Statics). 2. Auflage. Wiley, Hoboken 2019, ISBN 978-1-119-21468-7. 
• Robert G. Staudte: Robust estimation and testing. Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
• Rand R. Wilcox: Introduction to robust estimation and hypothesis testing. Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3