Lévy-Verteilung

Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

Definition Bearbeiten

Lévy-Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und μ=0

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

f(x)={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\cdot {\frac {1}{(x-\mu )^{3/2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\gamma }{2(x-\mu )}}\right),\quad x>\mu

., mit den beiden Parametern

\gamma >0,\,\mu \in \mathbb {R}

.

$\mu$ ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der $x$ -Achse;
$\gamma$ ist ein Skalenparameter (Stauchung für $\gamma <1$ ; Streckung für $\gamma >1$ ).

Standard-Lévy-Verteilung Bearbeiten

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten $\gamma =1,\mu =0$ ; ihre Dichtefunktion lautet damit:

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \cdot x^{3}}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2x}}},\quad x>0

.

Eigenschaften Bearbeiten

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

(X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X

(hier mit $\alpha =1/2$ ) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X$ . Da die Theorie der $\alpha$ -stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente Bearbeiten

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt $\operatorname {E} (|X|)=\infty$ . Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung Bearbeiten

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

Verlauf von Börsenkursen^[1]
Umpolung des Erdmagnetfeldes^[2]
Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien^[3]
Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche^[4]
Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen^[5]

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes. (PDF; 282 kB) University of Sheffield, 22. Juli 2010, S. 37–53, abgerufen am 13. Juni 2014.
↑ Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006, abgerufen am 13. Juni 2014.
↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

[applebaum-1] Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes. (PDF; 282 kB) University of Sheffield, 22. Juli 2010, S. 37–53, abgerufen am 13. Juni 2014.

[2] Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006, abgerufen am 13. Juni 2014.

[3] Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

[4] Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

[5] Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

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