Satz über wandernde Gebiete

In der Mathematik ist der Satz über wandernde Gebiete (engl. no-wandering-domain theorem) ein Lehrsatz aus der Theorie dynamischer Systeme. Er besagt, dass durch Iteration einer rationalen Abbildung in der komplexen Zahlenebene keine wandernden Gebiete entstehen.

Die Komponenten der Fatou-Menge der transzendenten Abbildung
$\quad z\mapsto z+2\pi \sin(z)$
sind weiß gezeichnet, sie sind wandernde Gebiete

Die Komponenten der Fatou-Menge der rationalen Abbildung
$\quad z\mapsto z-{\frac {z^{3}-1}{3z^{2}}}$
konvergieren je nach Färbung gegen eine der Nullstellen von $z^{3}-1$ und sind deshalb nicht-wandernde Gebiete

Der Satz wurde in den 20er Jahren von Pierre Fatou und Gaston Julia vermutet und 1982 von Dennis Sullivan bewiesen.

Wandernde Gebiete

Sei ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ die Riemannsche Zahlenkugel und $f\colon {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$ eine holomorphe Abbildung. Die Fatou-Menge ist die Menge aller Punkte $z,$ in denen die Folge der Iterierten $f^{k}(z)$ gleichgradig stetig ist, das heißt, das $\delta$ in der $\varepsilon$-$\delta$-Definition von Stetigkeit hängt nicht von $k$ ab. Die Fatou-Menge kann aus verschiedenen (evtl. unendlich vielen) Zusammenhangskomponenten bestehen. Für eine Zusammenhangskomponente $U$ ist $f(U)$ ebenfalls eine Zusammenhangskomponente der Fatou-Menge.

Eine Zusammenhangskomponente $U$ heißt ein wanderndes Gebiet, wenn die Folge $f^{k}(U)$ aus unendlich vielen unterschiedlichen Zusammenhangskomponenten besteht. Andernfalls, wenn die Folge $f^{k}(U)$ letztendlich periodisch wird, spricht man von einem nichtwandernden Gebiet.

Satz über wandernde Gebiete

Die Fatou-Menge einer rationalen Abbildung hat keine wandernden Gebiete.

Transzendente ganze Funktionen können hingegen wandernde Gebiete haben. Ein entsprechendes Beispiel war bereits 1976 von Baker gegeben worden.

Literatur

• D. Sullivan: Quasiconformal homeomorphisms and dynamics. I: Solution of the Fatou-Julia problem on wandering domains. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 122, No. 2, S. 401–418, 1985, Preview bei JSTOR.org.
• I. N. Baker: An entire function which has wandering domains. Journal of the Australian Mathematical Society, Series A, Vol. 22, S. 173–176, 1976.