Riemannsche Submersion

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Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie bezeichnet man als riemannsche Submersion eine die riemannsche Metrik respektierende Submersion einer riemannschen Mannigfaltigkeit auf eine andere, die also lokal wie eine orthogonale Projektion auf den Tangentialraum der zweiten Mannigfaltigkeit aussieht.

Definition

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Seien   und   zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten und

 

eine Submersion.

Dann heißt   eine riemannsche Submersion, wenn der Isomorphismus

 

eine Isometrie ist.

Konstruktion von Metriken auf Quotientenräumen

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Eine Lie-Gruppe   wirke isometrisch, frei und eigentlich diskontinuierlich auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit  . Der Quotientenraum   ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und man hat einen Isomorphismus  .

Eine Riemannsche Metrik auf   wird eindeutig festgelegt durch, die Bedingung, dass dieser Isomorphismus eine Isometrie sein soll. Sie wird als Quotientenmetrik bezeichnet. Mit dieser Metrik wird die Quotientenabbildung   eine Riemannsche Submersion.

Beispiele

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Die Fubini-Study-Metrik auf dem komplex-projektiven Raum   ist die Quotientenmetrik für die Standard-Wirkung der Kreisgruppe auf der „runden Sphäre“, also der Sphäre konstanter Schnittkrümmung +1. Mit dieser Metrik ist die Quotientenabbildung

 

also eine Riemannsche Submersion.

Für   ist das die Hopf-Faserung der Standardsphäre  : die Hopf-Abbildung

 

gibt eine Riemannsche Submersion.

O’Neill-Formel

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Die Schnittkrümmung des Bildraumes einer riemannschen Submersion kann aus der Schnittkrümmung des Urbildraumes mit der O’Neill-Formel berechnet werden:

 .

Hierbei sind   orthonormale Vektorfelder auf  ,   ihre horizontalen Hochhebungen auf  ,   bezeichnet den Kommutator von Vektorfeldern und   ist die Projektion des Vektorfeldes   auf die vertikale Distribution.

Literatur

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