Imaginärer Kugelkreis

Begriff der projektiven Geometrie
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Als imaginärer Kugelkreis, auch unendlich ferner oder uneigentlicher Kugelkreis oder absoluter Kegelschnitt oder Maßkegelschnitt genannt,[1] wird in der projektiven Geometrie über der Kreis auf der unendlich fernen Ebene bezeichnet, der auf allen Kugeln liegt. Dieser Kreis ist den beiden Punkten in (den sogenannten Kreispunkten), die auf allen Kreisen liegen, analog. ist nichteuklidisch und, wenn man den Anschauungsraum als Teilmenge von auffasst, so sind dieser und disjunkt, weswegen sich der Kugelkreis der gewöhnlichen Anschauung entzieht.

Beschreibung

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Sei   eine Kugel in dem affinen Raum   mit Mittelpunkt   und Radius  . Diese Kugel wird durch die Gleichung

 

beschrieben. Die Homogenisierung dieser Gleichung liefert als Gleichung über  

 

wobei die Punkte nun durch homogene Koordinaten   dargestellt werden. Da für   die Identität   gilt, folgt:

 

  ist unabhängig vom Kugelmittelpunkt   und vom Radius  , also liegt   auf allen Kugeln. Durch Umstellen erhält man dann zum Beispiel   als Gleichung für einen Kreis mit Radius   (  ist die imaginäre Einheit), was zeigt, weshalb Felix Klein diese Kurve   als imaginären Kreis bezeichnete. Man beachte, dass auch ein imaginärer Kreis mit Radius 0 aus mehr als einem Punkt besteht.

Umkehrung

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Auch eine Umkehrung des Satzes, dass der Kugelkreis auf allen Kugeln liegt, gilt: Enthält eine Fläche zweiter Ordnung den Kugelkreis, so ist diese Fläche bereits eine Kugel, sofern sie nicht in zwei Ebenen entartet ist.

  • Felix Klein: Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. Göttingen/Hannover 1928, Nachdruck Chelsea Publishing Company, New York, S. 135–137.

Einzelnachweise

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  1. Günther Eisenreich, Ralf Sube: Technik-Wörterbuch Mathematik. VEB Verlag Technik, Berlin 1982, 1. Auflage, S. 11.