Einseitiger Einstichproben-Gauß-Test

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Der einseitige Einstichproben-Gauß-Test, verkürzt auch Einstichproben Gauß-Test,[1] auch einseitiger Gauß-Test[2] genannt, ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. In seiner Grundfassung testet er im Falle einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz, ob der Erwartungswert über oder unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt. Ist der Stichprobenumfang groß genug und kann angenommen werden, dass der zentrale Grenzwertsatz gilt, so kann der Test auch als approximativer Test verwendet werden. Getestet wird dann ebenfalls, ob der Erwartungswert einer unbekannten Verteilung über oder unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt.

Vorgehen

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Kann angenommen werden, dass eine Normalverteilung mit Varianz   vorliegt, so läuft der Test nach dem folgenden Schema ab:[3]

  • Wähle einen Schwellenwert   für den unbekannten Erwartungswert. Die Nullhypothese   ist dann von der Form
 
und die Alternativhypothese ist von der Form
 
 .
Hierbei ist   das  -Quantil der Standardnormalverteilung, das in der Quantiltabelle der Standardnormalverteilung nachgeschlagen werden kann. Des Weiteren ist   die Anzahl der Elemente in der Stichprobe und   die bekannte Varianz der zugrundeliegenden Normalverteilung.
 
der Stichprobenelemente  .
  • Falls das arithmetische Mittel größer als der kritische Wert ist, also falls   gilt: lehne die Nullhypothese ab. Ansonsten behalte die Nullhypothese bei.

Wählt man als Nullhypothese   den rechten Teil der Zahlengeraden, also

 

und als Alternative entsprechend

 ,

so bleibt das allgemeine Vorgehen gleich. Jedoch wird bei der Bestimmung des kritischen Wertes das  -Quantil durch das  -Quantil   ersetzt. Er berechnet sich dann zu

 .

Die Nullhypothese wird dann abgelehnt, wenn das arithmetische Mittel kleiner als der kritische Wert ist, also wenn   gilt. Sie wird entsprechend beibehalten, wenn das arithmetische Mittel größer als der kritische Wert ist.[2]

Optimalität

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Im oben beschriebenen Fall eine Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz sowie den oben verwendeten Hypothesen ist der einseitige Gauß-Test ein gleichmäßig bester Test. Dies bedeutet, dass er zu jedem beliebigen vorgegebenen Niveau   immer einen kleineren Fehler 2. Art hat als alle anderen Tests für diese Situation.

Der Beweis beruht darauf, dass die Normalverteilung zur Exponentialfamilie gehört und einen monotonen Dichtequotienten besitzt. Dadurch lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma für zweielementige Testprobleme mittels Monotonieargumenten auf die Menge der hier betrachteten Normalverteilungen ausweiten.

Mathematische Grundlage

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Das zugrundeliegende statistische Modell ist

 

und wird auch als Normalverteilungsmodell bezeichnet. Es ist ein Produktmodell und formalisiert die oben implizit getroffene Annahme, dass die Stichprobenvariablen  unabhängig und identisch verteilt sind.

Dieses Modell ist die mathematische Formalisierung der Durchführung von   identischen Experimenten, die sich nicht gegenseitig beeinflussen und deren Ausgang normalverteilt ist mit bekannten Varianz und unbekanntem Erwartungswert.

Der Test   der Nullhypothese   gegen die Alternative   beruht auf der Teststatistik

 ,

dem sogenannten Stichprobenmittel. Es ist Normalverteilt zum unbekannten Mittelwert   und zur Varianz  , es gilt also

 .

Dies folgt aus den Rechenregeln für Normalverteilte Zufallsvariablen. Der eigentliche statistische Test ist dann gegeben durch

 

Hierbei ist   der kritische Wert. Durch ihn wird das Niveau (und damit der Fehler erster Art) festgelegt. Ist das Niveau als   vorgegeben, so errechnet sich der kritische Wert wie oben zu

 

mit dem  -Quantil   der Standardnormalverteilung.

Der Ablehnbereich   des Tests ist somit

 ,

was in Vektorenschreibweise

 

entspricht. Hierbei ist   der Einsvektor und  . Der Ablehnbereich bildet also einen Halbraum.

Die mathematischen Grundlagen für den analogen Test der Nullhypothese   gegen die Alternative   sind dieselben, lediglich die Ungleichheitszeichen im Test kehren sich um und der kritische Wert wird wie im oberen Abschnitt angegeben bestimmt.[4]

Abweichende Definitionen

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In der Literatur findet sich sowohl die Definition des Tests als[2]

 

als auch als[1]

 

Die voneinander abweichenden Ungleichheitszeichen haben jedoch auf das Ergebnis des Tests keinen Einfluss, das immer   gilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik genau den kritischen Wert annimmt und die beiden Definitionen somit verschiedene Werte annehmen, ist gleich null und kann vernachlässigt werden.

Abgeleitetes Konfidenzintervall

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Das aus dem Einstichproben Gauß-Test abgeleitete Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau   ist

 .

beziehungsweise

 .

Dies folgt direkt aus der Dualität von Tests und Konfidenzbereichen. Die Konfidenzintervalle sind somit gleichmäßig beste Konfidenzintervalle.

Einzelnachweise

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  1. a b Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 195, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  2. a b c Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 276, doi:10.1515/9783110215274.
  3. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 265–266, doi:10.1515/9783110215274.
  4. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 153, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.