π-System

spezielles Mengensystem

Ein -System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.

Definition

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Gegeben sei ein Mengensystem  , also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge  .   heißt ein  -System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen   aus dem Mengensystem   gilt, dass   ist.

Beispiele

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Für eine beliebige Grundmenge   sei das Mengensystem

 

aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige   ist nun  , der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch  , es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System.

Eigenschaften

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  • Ist das Mengensystem stabil unter Komplementbildung, so ist es genau dann durchschnittsstabil, wenn es vereinigungsstabil ist. Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen.
  • Ist das Mengensystem   stabil unter Differenzmengenbildung, dann ist es auch ein π-System. Dies folgt aus  .

Verwendung

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Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.

Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist   ein  -System, dann stimmen die von   erzeugte  -Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also

 .

Siehe auch

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Literatur

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