Die Darstellungstheorie endlicher Gruppen ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem man untersucht, wie Gruppen auf gegebenen Strukturen operieren.

Man betrachtet vor allem die Operationen von Gruppen auf Vektorräumen (lineare Darstellungen). Allerdings werden auch die Operationen von Gruppen auf anderen Gruppen oder auf Mengen (Permutationsdarstellung) betrachtet.

In diesem Artikel werden bis auf gekennzeichnete Ausnahmen nur endliche Gruppen betrachtet. Wir beschränken uns außerdem bei den Darstellungsräumen auf Vektorräume über Grundkörpern der Charakteristik Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ist abgeschlossen, d. h., wenn eine Theorie für einen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik gilt, so gilt sie auch für alle anderen. Damit können wir im Folgenden ohne Einschränkung Vektorräume über betrachten.

Die Darstellungstheorie findet in vielen Bereichen der Mathematik sowie in der Quantenchemie und der Physik Anwendung. Man verwendet die Darstellungstheorie unter anderem in der Algebra, um die Struktur von Gruppen zu untersuchen, in der harmonischen Analyse und in der Zahlentheorie. Beispielsweise wird im modernen Ansatz zum besseren Verständnis automorpher Formen die Darstellungstheorie verwendet.

Weite Teile der Darstellungstheorie endlicher Gruppen lassen sich zur Darstellungstheorie kompakter Gruppen verallgemeinern.

Geschichte

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Charaktere endlicher abelscher Gruppen sind ein seit dem 18. Jahrhundert in der Zahlentheorie verwendetes Hilfsmittel, aber erst Frobenius dehnte dieses Konzept 1896 auf nichtabelsche Gruppen aus.[1] Die Theorie der Charaktere der symmetrischen und der alternierenden Gruppen wurde um 1900 von Frobenius und Young ausgearbeitet.

Burnside und Schur formulierten Frobenius’ Charaktertheorie auf Basis von Matrix-Darstellungen anstelle von Charakteren. Burnside bewies, dass jede endlichdimensionale Darstellung einer endlichen Gruppe ein Skalarprodukt invariant lässt und erhielt damit einen einfacheren Beweis der (bereits bekannten) Zerlegbarkeit in irreduzible Darstellungen. Schur bewies das nach ihm benannte Lemma und die Orthogonalitätsrelationen.

Erst Emmy Noether gab die heute übliche Definition von Darstellungen mittels linearer Abbildungen eines Vektorraumes.[2]

Schur beobachtete 1924, dass man mittels invarianter Integration die Darstellungstheorie endlicher Gruppen auf kompakte Gruppen ausdehnen kann, die Darstellungstheorie kompakter zusammenhängender Lie-Gruppen wurde dann von Weyl entwickelt.

Definitionen

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Lineare Darstellungen

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Sei   ein  -Vektorraum und   eine Gruppe. Eine Darstellung von   ist ein Gruppenhomomorphismus   in die Automorphismengruppe von   Man nennt   den Darstellungsraum von  

Wir schreiben   für die Darstellung   von   oder auch nur   falls klar ist, zu welcher Darstellung der Raum   gehören soll.

Dieser Artikel beschränkt sich, bis auf das letzte Kapitel, auf den Fall   Da man sich in den meisten Fällen nur für eine endliche Anzahl an Vektoren aus   interessiert, kann man sich auf eine Teildarstellung beschränken, deren Darstellungsraum endliche Dimension hat. Der Grad einer Darstellung ist die Dimension   des Darstellungsraumes  

In diesem Artikel werden ausschließlich Darstellungen auf komplexen Vektorräumen betrachtet, also für   Spezielle Klassen solcher Darstellungen sind reelle Darstellungen und quaternionische Darstellungen.

Beispiele von Darstellungen endlicher Gruppen sind die Permutationsdarstellungen, insbesondere die links- und die rechts-reguläre Darstellung.

Abbildungen zwischen Darstellungen

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Eine Abbildung zwischen zwei Darstellungen   derselben Gruppe   ist eine  -lineare Abbildung  

Zwei Darstellungen   heißen äquivalent oder isomorph, falls es einen  -linearen Vektorraumisomorphismus zwischen den Darstellungsräumen gibt – d. h., falls es eine bijektive lineare Abbildung   gibt, sodass   für alle  

Sei   eine lineare Darstellung von   Falls   ein  -invarianter Unterraum von   ist, d. h.,   für alle   ist die Einschränkung   ein Isomorphismus auf   Da sich Restriktion und Gruppenhomomorphismus vertragen, liefert diese Konstruktion eine Darstellung von   auf   Diese heißt Teildarstellung oder Unterdarstellung von  

Darstellungsring, Moduln und die Faltungsalgebra

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Sei   eine Gruppe endlicher Ordnung und   ein kommutativer Ring. Mit   bezeichnen wir die Gruppenalgebra von   über   Diese Algebra ist frei und hat eine Basis, indiziert mit den Gruppenelementen. Meistens wird die Basis mit   identifiziert. Es lässt sich dann jedes Element   schreiben als   mit eindeutigen   Die Multiplikation in   setzt die in   distributiv fort.

Der Darstellungsring von   wird definiert als die abelsche Gruppe

 

die mit dem Tensorprodukt als Multiplikation zum Ring wird. Die Elemente von   heißen virtuelle Darstellungen.

Sei nun   ein  -Modul und sei   eine lineare Darstellung von   in   Für Elemente   und   definiere   Durch lineare Fortsetzung liefert dies auf   die Struktur eines Links- -Moduls. Umgekehrt lässt sich aus einem Links- -Modul   eine lineare Darstellung von   in   herleiten. Daher können die beiden Begriffe austauschbar verwendet werden.
Mit   gilt, dass der Links- -Modul, der durch   selbst gegeben ist, zur linksregulären Darstellung korrespondiert, ebenso korrespondiert   als der Rechts- -Modul zur rechtsregulären Darstellung.

Für eine Gruppe   mit   wird die Menge   mit der Addition und der skalaren Multiplikation ein  -Vektorraum, isomorph zu   Mit der Faltung   wird   dann zu einer Algebra, der Faltungsalgebra.

Konstruktionen von Darstellungen

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Zerlegung von Darstellungen

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Grundbegriffe

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Eine Darstellung   heißt irreduzibel oder einfach, falls es keinen echten  -invarianten Untervektorraum gibt. Die irreduziblen Darstellungen entsprechen in der Sprache der Gruppenalgebra den einfachen  -Moduln.
Man kann zeigen, dass die Anzahl an irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe   (bzw. die Anzahl von einfachen  -Moduln) gleich ist der Anzahl an Konjugationsklassen von  

Falls eine Darstellung als direkte Summe irreduzibler Darstellungen geschrieben werden kann, heißt sie halbeinfach oder vollständig reduzibel. Dies ist eine analoge Definition dazu, dass eine Algebra, die als direkte Summe einfacher Unteralgebren geschrieben werden kann, halbeinfach genannt wird.

Eine Darstellung heißt isotypisch, falls sie eine direkte Summe von isomorphen irreduziblen Darstellungen ist. Sei   eine beliebige Darstellung der Gruppe   Sei   eine irreduzible Darstellung von   so ist der  -Isotyp   von   definiert als die Summe aller irreduziblen Unterdarstellungen von   die zu   isomorph sind.

Unitarisierbarkeit

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Über   können wir jeden Vektorraum mit einem Skalarprodukt ausstatten. Eine Darstellung   einer Gruppe   in einen Vektorraum mit Skalarprodukt heißt unitär, falls   unitär ist für jedes   (d. h. insbesondere, jedes   ist diagonalisierbar).
Eine Darstellung ist genau dann unitär bezüglich eines gegebenen Skalarproduktes, wenn das Skalarprodukt unter der durch die Darstellung induzierten Operation von   invariant ist.
Für Darstellungen endlicher Gruppen kann man ein gegebenes Skalarprodukt   stets durch ein invariantes ersetzen, in dem man   ersetzt durch   So können wir ohne Einschränkung annehmen, dass alle im Weiteren betrachteten Darstellungen unitär sind.

Halbeinfachheit

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Um Darstellungen leichter verstehen zu können, möchte man den Darstellungsraum in die direkte Summe von einfacheren Teildarstellungen zerlegen. Für Darstellungen endlicher Gruppen über einem Körper der Charakteristik   erhält man die folgenden Resultate.

  • Sei   eine lineare Darstellung, und sei   ein  -invarianter Unterraum von   Dann existiert das Komplement   von   in   und   ist ebenfalls  -invariant.

Eine Teildarstellung und ihr Komplement legen die Darstellung eindeutig fest.

  • Jede lineare Darstellung kompakter Gruppen ist eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen.

In der Formulierung der  -Moduln bedeutet dies: Ist   so ist die Gruppenalgebra   halbeinfach, d. h., sie ist die direkte Summe einfacher Algebren.
Diese Zerlegung ist nicht eindeutig. Allerdings hängt die Anzahl der auftretenden Teildarstellungen, die zu einer gegebenen irreduziblen Darstellung isomorph sind, nicht von der gewählten Zerlegung ab.

Die kanonische Zerlegung

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Um eine eindeutige Zerlegung zu bekommen, fasst man alle zueinander isomorphen irreduziblen Teildarstellungen zusammen. Man zerlegt den Darstellungsraum also in die direkte Summe seiner Isotypen. Diese Zerlegung ist eindeutig. Sie heißt die kanonische Zerlegung.
Sei   die Familie aller irreduziblen Darstellungen einer Gruppe   bis auf Isomorphie. Sei   Sei   eine Darstellung von   und   die Menge der Isotypen von   Die Projektion   zur kanonischen Zerlegung ist gegeben durch

 

wobei   und   der zu   gehörige Charakter ist.

Im Folgenden sehen wir, wie man den Isotyp zur trivialen Darstellung bestimmen kann:

Projektionsformel: Für jede Darstellung   einer Gruppe   mit   definiere   Die Abbildung   ist eine Projektion von   nach  
Im Allgemeinen ist   nicht  -linear. Setze   Dann ist   eine  -lineare Abbildung, da   für alle  

Die Anzahl, wie oft die triviale Darstellung in   auftritt, ist gegeben durch die Spur   von   Dies folgt, da eine Projektion nur die Eigenwerte   und   haben kann und der Eigenraum zum Eigenwert   das Bild der Projektion ist. Da die Spur die Summe der Eigenwerte ist, erhält man

 

wobei   den Isotyp zur trivialen Darstellung bezeichnet und  
Sei   eine nichttriviale irreduzible Darstellung von   dann ist der Isotyp zur trivialen Darstellung von   der Nullraum. D. h., es gilt

 

Sei   eine Orthonormalbasis von   Dann gilt:

 

Damit gilt also für eine nichttriviale irreduzible Darstellung  

 

Dass obige Sätze zur Zerlegung für unendliche Gruppen nicht mehr unbedingt gelten, soll hier an einem Beispiel illustriert werden: Sei   Dann ist   mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe unendlicher Mächtigkeit. Die Gruppe   operiert auf   durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Wir betrachten die Darstellung   für alle   Der Unterraum   ist ein  -invarianter Unterraum.
Zu diesem Unterraum existiert nun aber kein  -invariantes Komplement. Die Annahme, dass ein solches Komplement existiere, führt zum Widerspruchsresultat, dass jede Matrix über   diagonalisierbar wäre.
D. h., wenn wir unendliche Gruppen betrachten, kann der Fall eintreten, dass eine Darstellung nicht irreduzibel ist, aber trotzdem nicht in die direkte Summe irreduzibler Teildarstellungen zerfällt.

Lemma von Schur

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Seien   und   zwei irreduzible lineare Darstellungen. Sei   eine lineare Abbildung, sodass   für alle   Dann gilt:

  • Falls   und   nicht isomorph sind, ist  
  • Falls   und   so ist   eine Homothetie (d. h.,   für ein  ).

Charaktertheorie

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Ein wesentliches Hilfsmittel in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen ist die Charaktertheorie. Sei   eine lineare Darstellung der endlichen Gruppe   in den Vektorraum   Definiere die Abbildung   durch   wobei   die Spur der linearen Abbildung   bezeichnet. Die dadurch erhaltene komplexwertige Funktion   heißt Charakter der Darstellung  
Manchmal wird der Charakter einer Darstellung   auch definiert als   wobei   den Grad der Darstellung bezeichnet. In diesem Artikel wird diese Definition allerdings nicht verwendet.
Anhand der Definition erkennt man sofort, dass isomorphe Darstellungen denselben Charakter haben.

Auf der Menge aller Charaktere einer endlichen Gruppe   kann man ein Skalarprodukt definieren:

 

Für zwei  -Moduln   definieren wir   wobei   der Vektorraum aller  -linearen Abbildungen   ist. Diese Form ist bilinear bezüglich der direkten Summe.

Orthogonalitätsrelationen

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Dieses Skalarprodukt ermöglicht es, wichtige Resultate in Bezug auf die Zerlegung und Irreduzibilität von Darstellungen zu erhalten.

Satz: Sind   die Charaktere zweier nichtisomorpher irreduzibler Darstellungen   so gilt:

  •  
  •   d. h.,   hat „Norm“  

Korollar: Seien   die Charaktere von   dann gilt:  

Satz: Sei   eine lineare Darstellung von   mit Charakter   Es gelte   wobei die   irreduzibel sind. Sei nun   eine irreduzible Darstellung von   mit Charakter   Dann gilt:
Die Anzahl an Teildarstellungen   die zu   äquivalent sind, hängt nicht von der gegebenen Zerlegung ab und entspricht dem Skalarprodukt  
D. h., der  -Isotyp   von   ist unabhängig von der Wahl der Zerlegung und es gilt

 

und damit

 

Korollar: Zwei Darstellungen mit dem gleichen Charakter sind isomorph. D. h., jede Darstellung ist durch ihren Charakter festgelegt.

Irreduzibilitätskriterium: Sei   der Charakter einer Darstellung   dann ist   und es gilt   genau dann, wenn   irreduzibel ist.

Die Charaktere irreduzibler Darstellungen von   bilden also bezüglich dieses Skalarproduktes ein Orthonormalsystem auf   Äquivalent zur Orthonormaleigenschaft gilt: Die Anzahl aller irreduziblen Darstellungen einer Gruppe   bis auf Isomorphie ist gleich der Anzahl aller Konjugationsklassen von  

Korollar: Sei   ein Vektorraum mit   Jede irreduzible Darstellung   von   ist  -mal in der regulären Darstellung enthalten. D. h., für die reguläre Darstellung   von   gilt:   wobei   die Menge aller irreduziblen Darstellungen von   beschreibt, die paarweise nicht isomorph zueinander sind.
In Worten der Gruppenalgebra erhalten wir   als Algebren.

Zu den weiteren Anwendungen dieser Theorie gehören die Fourier-Inversionsformel und die Plancherel-Formel.

Induzierte Darstellungen

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Mit Hilfe der Einschränkung kann man aus einer Darstellung einer Gruppe eine Darstellung einer Untergruppe erhalten:
Sei   eine Untergruppe der Gruppe   Für eine Darstellung   von   ist   die Einschränkung von   auf die Untergruppe  

Die Frage, die sich nun stellt, ist die nach dem umgekehrten Prozess. Kann man aus einer gegebenen Darstellung einer Untergruppe eine Darstellung der ganzen Gruppe erhalten? Man stellt fest, dass die im Folgenden definierte induzierte Darstellung genau das Gesuchte liefert. Allerdings ist diese Konstruktion nicht invers, sondern adjungiert zur Einschränkung.

Definition: Sei   eine lineare Darstellung von   Sei   eine Untergruppe und   die Einschränkung. Sei   eine Teildarstellung von   Schreibe   für diese Darstellung. Sei   der Vektorraum   hängt nur von der Linksnebenklasse   von   ab. Sei   ein Vertretersystem von   dann ist   eine Teildarstellung von  

Eine Darstellung   von   in   heißt induziert durch die Darstellung   von   in   falls   Dabei ist   ein Vertretersystem von   wie oben und   für jedes   Wir schreiben   für die von der Darstellung   von   induzierte Darstellung von   Die induzierte Darstellung existiert und ist eindeutig bestimmt.

Eine wichtige Beziehung in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen ist die Frobeniusreziprozität. Sie sagt uns einerseits, dass die Abbildungen   und   adjungiert zueinander sind. Betrachten wir andererseits mit   eine irreduzible Darstellung von   und sei   eine irreduzible Darstellung von   dann erhalten wir mit der Frobeniusreziprozität außerdem, dass   so oft in   enthalten ist wie   in  

Mit dem Kriterium von Mackey kann die Irreduzibilität von induzierten Darstellungen überprüft werden.

Wichtige Sätze

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Literatur

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  • Jean-Pierre Serre; Lineare Darstellungen endlicher Gruppen. In deutscher Sprache aus dem französischen übersetzt und herausgegeben von Günter Eisenreich. Akademie-Verlag, Berlin, 1972.
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Einzelnachweise

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  1. Frobenius: Über Gruppencharaktere. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1896), 985–1021; in Gesammelte Abhandlungen, Band III, Springer-Verlag, New York, 1968, 1–37.
  2. Anthony W. Knapp: Group representations and harmonic analysis from Euler to Langlands. Notices of the American Mathematical Society 43 (1996).