Satz von de Finetti

mathematischer Satz
(Weitergeleitet von Darstellungssatz von de Finetti)

Der Satz von de Finetti (auch Darstellungssatz von de Finetti oder de Finetti’s representation theorem) ist ein Satz aus der Stochastik über austauschbare Familien von Zufallsvariablen benannt nach seinem Entdecker Bruno de Finetti.

Der Satz sagt, dass die Verteilung einer austauschbaren Folge von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen als ein Integral über bedingt unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen betrachtet werden kann.

Formulierung des Satzes

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Sei   eine unendliche Folge von austauschbaren Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen mit Parameter   und Dichte   für  . Dann existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Verteilungsfunktion  , so dass für jedes   und jede Realisierung   gilt:

 ,

wobei   die Anzahl „erfolgreicher“ Bernoulli-Versuche bei   Versuchen ist.

Betrachtung als Gewichtung

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Anders formuliert können wir auch sagen, es existiert eine Zufallsvariable   auf   mit Verteilungsfunktion  , so dass die   gegeben   bedingt unabhängig sind, das heißt

 

wobei

 

für   gilt.

Weiter gilt nach de Finettis Gesetz der großen Zahlen

 .
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