Der individuelle Ergodensatz ist ein wichtiger Satz der Ergodentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik im Grenzbereich zwischen Stochastik und Theorie dynamischer Systeme. Alternativ wird der individuelle Ergodensatz auch Ergodensatz von Birkhoff oder punktweiser Ergodensatz genannt. Er liefert eine Form des starken Gesetzes der großen Zahlen für abhängige Zufallsvariablen und liefert die mathematische Grundlage der Ergodenhypothese der statistischen Physik. Der Satz wurde im Jahr 1931 durch George David Birkhoff bewiesen, nach dem er auch benannt ist.[1] Ein kompakter Beweis ist mittels des Hopf'schen Maximal-Ergodenlemmas möglich. Außerdem kann der -Ergodensatz ohne großen Aufwand aus dem individuellen Ergodensatz hergeleitet werden.

Es sei   eine integrierbare Zufallsvariable (d. h., sie besitzt einen endlichen Erwartungswert) und   eine maßerhaltende Transformation auf dem zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum   (d. h.   für alle   in  ). Dann konvergieren die Mittel

 

für   fast sicher gegen eine Zufallsvariable  .

  kann dabei messbar bezüglich der von den  -invarianten Mengen   (d. h.  ) erzeugten σ-Algebra   gewählt werden und lässt sich als bedingter Erwartungswert   darstellen.

Wenn   ergodisch ist, so ist   fast sicher konstant gleich dem Erwartungswert von  .

Das Beispiel eines stationären Prozesses

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Die Zufallsvariablen   ( ) bilden einen stationären stochastischen Prozess, d. h.   ist so verteilt wie  . Umgekehrt lässt sich jeder stationäre stochastische Prozess   in dieser Weise darstellen, wenn man annimmt, dass   und   von der Form   ist. (Wenn dies nicht der Fall ist, kann man den Bildraum   mit dem Bildmaß von   anstelle von   und   betrachten.) Dabei ist  , und der Linksshift, der   auf   abgebildet, ist die maßerhaltende Transformation.

Wenn die   einen endlichen Erwartungswert haben, konvergiert nach dem Ergodensatz also

 

für   fast sicher gegen eine Zufallsvariable  . Diese ist der bedingte Erwartungswert   eines jeden  . Wenn Ergodizität vorliegt, ist   fast sicher konstant, d. h.

     fast sicher   (  beliebig).

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. G. D. Birkhoff: Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 S. 656–660. pdf. Bei: PNAS.org