Wesentliches Supremum

Der Begriff des wesentlichen Supremums oder essentiellen Supremums wird in der Mathematik bei der Einführung der -Räume für den Fall als Erweiterung des Supremum-Begriffs benötigt. Da bei der Konstruktion dieser Funktionenräume Funktionen, die sich nur auf Nullmengen voneinander unterscheiden, als identisch betrachtet werden, kann man nur eingeschränkt von Funktionswerten in einzelnen Punkten sprechen. Der Begriff der beschränkten Funktion muss dementsprechend angepasst werden.

DefinitionBearbeiten

Seien   ein Maßraum und   ein Banachraum. Eine messbare Funktion   heißt wesentlich beschränkt, wenn es eine Zahl   gibt, so dass

 

ist, das heißt, es gibt eine Modifikation von   auf einer Nullmenge, so dass die entstehende Funktion im klassischen Sinne beschränkt ist. Jedes solche   wird eine wesentliche Schranke genannt. Als wesentliches Supremum, in Zeichen  , bezeichnet man

 

oder auch (für  )

 .

Einige Autoren bezeichnen das wesentliche Supremum auch mit  .

Für eine stetige oder abschnittsweise stetige Funktion ergibt sich die Identität zum klassischen Supremum, falls   das Lebesgue-Maß ist.

L-RaumBearbeiten

Mit   wird die Menge aller wesentlich beschränkten Funktionen bezeichnet. Es sei mit   die Menge der wesentlich beschränkten Funktionen mit Schranke 0 bezeichnet. Dann ist   die Menge der Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.

  ist ein linearer Raum mit Norm

 .

Diese Norm ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten   in der Äquivalenzklasse  . Mit dieser Norm wird   zu einem Banachraum. In der mathematischen Literatur verzichtet man auf die eckigen Klammern, die für die Äquivalenzklasse von   stehen. In der Regel schreibt man einfach   und weist den Leser darauf hin, dass die auftretenden Gleichungen nur bis auf Nullmengen zu verstehen sind.

BeispielBearbeiten

Betrachtet man die Dirichletsche Sprungfunktion auf   versehen mit dem Lebesgue-Maß, so ist das Supremum  . Da die Menge der rationalen Zahlen aber eine Lebesgue-Nullmenge ist, ist das wesentliche Supremum  .

LiteraturBearbeiten