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Das wesentliche Spektrum oder essentielle Spektrum ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Es wird in der Literatur nicht einheitlich definiert. Alle Definitionen haben jedoch gemein, dass das wesentliche Spektrum eine Teilmenge des Spektrums eines linearen Operators ist, bei dem Punkte, die als "gutartig" angesehen werden, entfernt wurden.

DefinitionBearbeiten

Eine mögliche Definition lautet: Sei   ein linearer Operator auf einem Hilbertraum, dann besteht das wesentliche Spektrum   von   aus allen   für die   kein Fredholm-Operator ist. Es ist damit eine Verallgemeinerung des Eigenwertbegriffs.

EigenschaftenBearbeiten

Das wesentliche Spektrum aus der obigen Definition ist invariant unter Störungen mit einem kompakten Operator   Es gilt also  .

Für einen normalen Operator   auf einem Hilbertraum gehört   genau dann zu  , wenn   kein isolierter Eigenwert endlicher Vielfachheit ist. Alternativ kann das wesentliche Spektrum auch als das gewöhnliche Spektrum des Bildes des Operators   in der Calkin-Algebra definiert werden.

LiteraturBearbeiten