Vollkonjunktion

Als Vollkonjunktion (auch Minterm oder Elementarkonjunktion) bezeichnet man in der Aussagenlogik einen speziellen Konjunktionsterm, d. h. eine Anzahl von Literalen (booleschen Variablen), die alle durch ein logisches und () verknüpft sind. Dabei müssen alle Variablen der betrachteten -stelligen booleschen Funktion im Konjunktionsterm vorkommen. Vollkonjunktionen lassen sich zu einer disjunktiven Normalform zusammensetzen, beispielsweise beim Verfahren nach Quine und McCluskey.

BeispieleBearbeiten

Beispiele für 3-stellige boolesche Funktionen

  •  
  •  
  •  

Standardnummerierung der VollkonjunktionenBearbeiten

Vollkonjunktionen lassen sich auf natürliche Weise nummerieren. Man denkt sich dabei die Variablen in einer Reihe notiert, z. B.  . Kommt für eine konkrete Vollkonjunktion das jeweilige Literal   negiert vor, so ersetzt man es durch eine 0, sonst durch eine 1. Es entsteht eine Binärzahl, die man dezimal interpretieren kann. Diese Dezimalzahl bezeichnet man als die Nummer oder den Index des Minterms. Will man diesen Minterm über seinen Index   bezeichnen, so schreibt man  . Analog geht dies mit den Maxtermen   bei Disjunktionen.

Vergleich Minterm / MaxtermBearbeiten

In folgender Tabelle ist der Unterschied zwischen der Maxterm- und Mintermdarstellung ersichtlich:

Index       Minterm Maxterm
0 0 0 0    
1 0 0 1    
2 0 1 0    
3 0 1 1    
4 1 0 0    
5 1 0 1    
6 1 1 0    
7 1 1 1    

Realisierung von Decoder-Schaltungen mit Mintermen / Maxtermen:

Minterm Maxterm
0 NOR-Gatter AND-Gatter
1 OR-Gatter NAND-Gatter

BezeichnungenBearbeiten

MintermeBearbeiten

  • Ein einziger Minterm:
    • Für genau eine Belegung Funktionswert 1
    • Minimalität:
      • maximale Anzahl an Nullen
      • minimale Anzahl an Einsen

(abgesehen von trivialer Nullfunktion)

MaxtermeBearbeiten

  • Ein einziger Maxterm:
    • Für genau eine Belegung Funktionswert 0
    • Maximalität:
      • maximale Anzahl an Einsen
      • minimale Anzahl an Nullen

(abgesehen von trivialer Einsfunktion)

Bezug zum Karnaugh-Veitch-DiagrammBearbeiten

Man spricht auch vom Minterm einer Funktion  , wenn dieser   impliziert, d. h. wenn gilt

 .

Dabei ist   der Vektor der Eingangsvariablen. Derartige Minterme   entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Feldern eines Karnaugh-Veitch-Diagramms, die für die betrachtete Funktion den Wert 1 enthalten.