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Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

mathematische Funktion

Eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge ist entweder eine Erweiterung der Fibonacci-Folge auf größere Definitionsbereiche als die natürlichen Zahlen oder eine Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes.

Inhaltsverzeichnis

Erweiterung auf größere DefinitionsbereicheBearbeiten

Erweiterung auf alle ganzen ZahlenBearbeiten

Wenn man das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen umkehrt, erhält man

 .

Mit dieser Formel kann man rekursiv Fibonacci-Zahlen zu negativen ganzen Zahlen berechnen. Ferner gilt die Formel von Moivre-Binet auch für negative ganze Zahlen: Für den goldenen Schnitt   gilt:

 

Setzt man  , so folgt aus

 ,  

und

 
 .

Der Induktionsschluss ergibt

 ,

so dass schließlich die Formel von Moivre-Binet

 

für alle ganzen Zahlen gilt.

Erweiterung auf alle komplexen ZahlenBearbeiten

Die geschlossene Form für die  -te Fibonacci-Zahl lautet für ganze Zahlen (siehe oben):

 ,

wobei   der goldene Schnitt ist. Für den goldenen Schnitt   gilt die folgende Gleichung:

 

Ist   eine ganze Zahl, dann gilt jedoch:

 

Deshalb ist die stetige und analytische[1] Funktion

 

eine Fortsetzung der Fibonacci-Zahlen auf den komplexen Zahlen.

Verallgemeinerung des BildungsgesetzesBearbeiten

Lucas-FolgeBearbeiten

Die Fibonacci-Folge ist ein Spezialfall der Lucas-Folge.

Folgen mit ähnlichem BildungsgesetzBearbeiten

Folgen in den komplexen ZahlenBearbeiten

Sei   eine Folge in  , die für   durch das rekursive Bildungsgesetz

 

definiert ist, so ist eine solche Folge eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge, da diese entsteht, wenn man   und   setzt. Für das  -te Folgenglied dieser Folge gibt es einen geschlossenen Ausdruck:

 ,

wobei   die  -te Fibonacci-Zahl ist. Dies folgt aus vollständiger Induktion mit Induktionsanfang

 

und Induktionsschritt

 

Folgen von VektorenBearbeiten

Ist   ein Vektorraum und sind  , kann man eine Folge   von Vektoren   rekursiv definieren durch

 .

Wie oben gilt dann die Formel

 .

Vektorraum der Fibonacci-FolgenBearbeiten

Wegen der Gleichung

 

kann man die Menge der Folgen   mit   auch als einen unendlichdimensionalen  -Vektorraum auffassen, für den   und   die Basis bilden.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harry J. Smith: What is a Fibonacci Number? In: geocities.com. 20. Oktober 2004, archiviert vom Original am 20091027103713; abgerufen am 13. Januar 2015 (englisch).