Ungleichung von Petrović

Die Ungleichung von Petrović (englisch Petrović inequality) ist ein Resultat der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik.

Die Ungleichung wurde von dem serbischen Mathematiker Mihailo Petrović im Jahre 1932 publiziert und ist verwandt mit der Ungleichung von Jensen, aus der sie als Korollar gewonnen werden kann. Sie gibt eine einfache Abschätzung gewisser konvexer Funktionen im Körper der reellen Zahlen. Die Publikation von Petrović gab Anlass zu einer Reihe weiterer Untersuchungen.

FormulierungBearbeiten

Das Resultat lässt sich wie folgt angeben:[1]

Sei   ein reelles Intervall mit   und sei   eine stetige Funktion, deren Einschränkung   auf das Innere des Intervalls Jensen-konvex ist.
Dann gilt für jede natürliche Zahl   und je   reelle Zahlen   mit   stets die Ungleichung
   .

BeweisskizzeBearbeiten

In Marek Kuczmas Monographie werden zwei Beweise gegeben. Der erstere der beiden benutzt Vollständige Induktion. Der wesentliche Schritt dieses Beweises ist der Nachweis, dass die obige Ungleichung für den Fall   gilt, und erfolgt unter Anwendung der Jensen-Ungleichung.[1]

Unter der den genannten Bedingungen kann man dabei ohne Beschränkung der Allgemeinheit   annehmen und man erhält

 

und in gleicher Weise auch

 

und schließlich mittels Addition der linken und der rechten Seiten dieser beiden Ungleichungen

   .

Letztere Ungleichung ist jedoch gleichwertig mit der Petrović-Ungleichung für    .

Quellen und HintergrundliteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. 2009, S. 217