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Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

(Weitergeleitet von Ungleichung der Mittelwerte)

In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Für war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht.[1]

Inhaltsverzeichnis

Formale FormulierungBearbeiten

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lautet für nichtnegative Zahlen  

 

Die linke Seite der Ungleichung ist das geometrische Mittel und die rechte Seite das arithmetische Mittel. Es gilt genau dann Gleichheit, wenn   gilt.

Geometrische InterpretationBearbeiten

Ein Rechteck mit den Seiten   und   hat den Gesamtumfang  . Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt hat den Umfang  . Für   besagt die Ungleichung

 

also, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt   der Umfang mindestens

 

beträgt, wobei das Quadrat diesen geringsten Umfang hat.

Im Falle   sagt die Ungleichung aus, dass unter allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Kantenlänge insgesamt hat. Die allgemeine Ungleichung erweitert diese Idee auf   Dimensionen.

 
Blau sind die beiden Längen   und   gekennzeichnet, rot deren arithmetisches und grün deren geometrisches Mittel

Trägt man für   die Längen   und   hintereinander auf einer Geraden ab und errichtet über den Enden der Strecke mit Länge   einen Halbkreis, so entspricht der Radius von jenem dem arithmetischen Mittel. Das geometrische Mittel ist dann die Länge des Lotes eines solchen Punktes auf dem Halbkreis auf die Strecke mit Länge  , für den das Lot durch den Übergangspunkt der Strecken   und   geht. Letzterer Zusammenhang folgt aus dem Satz des Thales und dem Höhensatz.

BeweiseBearbeiten

Für den Fall, dass ein   gleich Null ist, ist das geometrische Mittel Null und die Ungleichung ist offensichtlich erfüllt; in den folgenden Beweisen kann daher   angenommen werden.

Beweis aus der jensenschen UngleichungBearbeiten

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich beispielsweise aus der jensenschen Ungleichung beweisen: die Logarithmusfunktion ist konkav, daher gilt

 

für positive   mit  .

Durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten folgt

 .

Für   ergibt das genau die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis von PolyaBearbeiten

Von George Polya stammt ein Beweis, der lediglich die Beziehung   der Exponentialfunktion voraussetzt. Für   gilt dann

 .

Multipliziert man diese Ungleichungen für  , so erhält man

 ,

also

 

und somit

 .

Induktive BeweiseBearbeiten

Der Beweis aus der jensenschen Ungleichung und der Polya-Beweis sind zwar sehr leicht verständlich, haben aber den Nachteil, dass Vorwissen über die Logarithmusfunktion beziehungsweise der Exponentialfunktion benötigt wird. Für die Untersuchung der bei der Definition der Exponentialfunktion verwendeten Folge

 

kann aber die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel hilfreich sein. Methodisch sind daher oft induktive Beweise zweckmäßiger; diese sind für die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel aber relativ schwierig.

Beweis mit Vorwärts-Rückwärts-InduktionBearbeiten

Ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist mit „Vorwärts-Rückwärts-Induktion“ möglich. Der Vorwärtsschritt erfolgt dabei, indem man aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit für 2n beweist. Der Rückwärtsschritt erfolgt, indem man aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit für n−1 zeigt, indem man   setzt. Dieser Beweis findet sich bereits bei Augustin Louis Cauchy.[2]

Beweis mittels HilfssatzBearbeiten

Ein anderer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ergibt sich aus dem Hilfssatz, dass für   und   folgt, dass  . Dieser Beweis stammt von G. Ehlers.[3] Der Hilfssatz kann beispielsweise mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Betrachtet man das Produkt   und setzt  , so erfüllen die so definierten   nämlich die Voraussetzung   des Hilfssatzes. Aus dem Hilfssatz folgt

 ,

also

 .

Einsetzen von   liefert dann die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis aus der Bernoulli-UngleichungBearbeiten

Ein direkter induktiver Beweis ist mit Hilfe der bernoullischen Ungleichung möglich: Sei o. B. d. A.   das maximale Element von   und   das arithmetische Mittel von  . Dann gilt  , und aus der bernoullischen Ungleichung folgt, wenn man die Summanden mit den Indizes 1 bis   von dem Summanden mit dem Index   „trennt“, dass

 .

Multiplikation mit   liefert

 ,

wobei die letzte Ungleichung nach Induktionsvoraussetzung gilt. Das Ziehen der  -ten Wurzel beendet den Induktionsbeweis.

Dieser Beweis findet sich beispielsweise im Lehrbuch der Analysis von H. Heuser, Teil 1, Kapitel 12.2.

Beweis aus der Umordnungs-UngleichungBearbeiten

Ein nicht-induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, der ohne Logarithmusfunktion auskommt, lässt sich mit Hilfe der Umordnungs-Ungleichung durchführen. Aus der Umordnungs-Ungleichung folgt nämlich, dass für positive Zahlen   und jede beliebige Permutation   die Beziehung

 

gelten muss. Setzt man speziell

 

so folgt also

 

woraus unmittelbar die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen MittelBearbeiten

Für ein gegebenes positives Gewichtstupel   mit   und Summe   wird mit

 

das gewichtete arithmetische Mittel und mit

 ,

das gewichtete geometrische Mittel bezeichnet. Auch für diese gewichteten Mittel gilt die die Ungleichung

 .

Der Beweis dafür folgt direkt aus obigem Beweis mit der jensenschen Ungleichung.

Für  ,  ,   mit   und  ,   mit   erhält man die youngsche Ungleichung

 

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen MittelBearbeiten

Fordert man   echt größer Null und ersetzt in der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel   durch  , so erhält man die Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel:

 .

Diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel:

 .

Ungleichung der verallgemeinerten MittelBearbeiten

Als Hölder-Mittel mit Exponent   bezeichnet man den Ausdruck

 .
  • Für   erhält man das arithmetische Mittel,
  • Der Grenzwert   ergibt das geometrische Mittel,
  • Für   erhält man das harmonische Mittel.

Allgemein gilt für   die verallgemeinerte Mittelwertungleichung:

 

Diese Ungleichung lässt sich z. B. beweisen, indem man   setzt und   und   in die Hölder-Ungleichung mit   einsetzt, oder indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion   auf die Werte   anwendet.

Auch diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel: Sei

 

das mit   gewichtete Mittel mit Exponent   der Zahlen  , so gilt für   die Ungleichung:

 .

Diese Ungleichung lässt sich ebenfalls aus der Hölder-Ungleichung beweisen, indem man   sowie   setzt, oder ebenfalls, indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion   auf die Werte   anwendet.

Übertragen auf Integrale über den Maßraum   mit einem endlichen Maß   nimmt die Ungleichung der verallgemeinerten Mittel die Form

 

an; insbesondere folgt daraus   für diese Lp-Räume.

Siehe auchBearbeiten

  • Eine andere Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist die Muirhead-Ungleichung.
  • Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ableiten.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Paul J. Nahin: When Least is Best.Princeton University Press 2003. Appendix A. The AM-GM Inequality.
  2. Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique. Der Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist auf Seite 457 ff.
  3. W.D. Hayes: Colloquium on linear equations. Office of Naval Research Technical Report ONRL-35-54 (1954) (PDF; 2,0 MB)

QuellenBearbeiten