Trigonalisierbare Matrix

Begriff aus der linearen Algebra
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Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix existiert also eine reguläre Matrix , sodass eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus über einen endlichdimensionalen Vektorraum , falls es eine Basis von gibt, sodass die Darstellungsmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

DefinitionBearbeiten

Eine quadratische Matrix   heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix  , sodass   eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass   die Form

 

hat, wobei   gilt.

Ein Endomorphismus   über einen endlichdimensionalen Vektorraum   heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis   von   gibt, sodass die Darstellungsmatrix   eine obere Dreiecksmatrix ist.

Kriterien für die TrigonalisierbarkeitBearbeiten

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

  • Die Matrix   ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existiert eine obere Dreiecksmatrix   und eine invertierbare Matrix   mit  .
  • Das charakteristische Polynom der Matrix   zerfällt über dem Körper   in Linearfaktoren.
  • Das Minimalpolynom der Matrix   zerfällt über dem Körper   in Linearfaktoren.
  • Die Matrix   besitzt über dem Körper   eine Jordan-Normalform.

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über   trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen DreiecksmatrixBearbeiten

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix   zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix  , mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

 

Des Weiteren haben   und   dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von   in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert   und einen zugehörigen Eigenvektor  . Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis   des   ergänzt. Die Matrix   sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis   zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich   berechnen und die Form

 

Für das charakteristische Polynom der  -Matrix   gilt  . Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und   ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man   berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix  . Die Matrix   ergibt sich als Produkt   der Basiswechselmatrizen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten