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Tabellarische ÜbersichtBearbeiten

Wir beginnen mit einer tabellarischen Übersicht, die aus dem Lehrbuch „Finite group Theory“ von Michael Aschbacher adaptiert ist.[1]

Name Alternative Bezeichnung Gruppenordnung Ausnahmen Isomorphien
  Spezielle projektive lineare Gruppe    
 
 
 
 
  Kommutatorgruppe der speziellen orthogonalen Gruppe (ungerader Grad)  
 
 
  Projektive symplektische Gruppe    
  Kommutatorgruppe der speziellen orthogonalen Gruppe (gerader Grad)  
  Chevalley-Gruppe  
  Chevalley-Gruppe  
  Chevalley-Gruppe  
  Chevalley-Gruppe  
  Chevalley-Gruppe    
  Spezielle unitäre Gruppe      
  Suzuki-Gruppen     mit    
  Steinberg-Gruppe  
  Steinberg-Gruppe  
  Steinberg-Gruppe  
  Ree-Gruppe   mit    
  Ree-Gruppe   mit    

Die Namen ergeben sich aus den Typen von Lie-Algebren, wie unten erläutert wird. In obiger Tabelle ist   stets eine Primzahlpotenz und   eine natürliche Zahl inklusive 0, die in den Nennern der Formeln für die Gruppenordnung vorkommenden Klammern   stehen für den größten gemeinsamen Teiler. Viele dieser Gruppen waren bereits vor Chevalleys Arbeiten als sogenannte klassische Gruppen bekannt, manche sind auch nach ihren Entdeckern benannt. Die daher rührenden Bezeichnungen sind als "Alternative Bezeichnung" angegeben. Die genannten Ausnahmen sind nicht-einfache Gruppen, ferner bestehen die in der Spalte "Isomorphie" genannten Isomorphien unter diesen Gruppen und zu den alternierenden Gruppen An (ist mit   der Lie-Typ gemeint, so folgt stets eine in Klammern gesetzte Primzahlpotenz).

Im Folgenden werden die zur Definition dieser Gruppen benötigten Begriffe entwickelt, wobei wir im Wesentlichen dem unten angegebenen Lehrbuch "Simple Groups of Lie-Type" von Roger Carter folgen, das ganz diesem Thema gewidmet ist, auch wenn dieses Buch bereits älter ist und aus der Zeit vor dem Klassifikationssatz stammt. Ausgehend von der Klassifikation einfacher Lie-Algebren über   beschreiben wir die durchaus verwickelte Konstruktion dieser Gruppen und führen dabei gerade soviel Begriffe ein, wie für die Definition der Gruppen erforderlich ist.

Die Darstellung zerfällt in zwei große Blöcke. Zunächst konstruieren wir die sogenannten klassischen Chevalley-Gruppen, deren Theorie auf Claude Chevalley zurückgeht; es sind dies die Gruppen ohne einen linken oberen Index in ihrem Namen. Im zweiten Block werden Automorphismen auf gewissen klassischen Chevalley-Gruppen konstruiert, deren Ordnung ist gerade der linke obere Index. Aus gewissen Fixpunktmengen dieser Automorphismen konstruiert man die sogenannten getwisteten Chevalley-Gruppen als Untergruppen der klassischen Chevalley-Gruppen. Diese wurden unabhängig von Robert Steinberg, Jacques Tits und Ravi Hertzig entdeckt.[2]

Einfache Lie-AlgebrenBearbeiten

WurzelsystemeBearbeiten

Es sei   eine einfache, endlichdimensionale Lie-Algebra über   und   die nicht-ausgeartete Killing-Form. Dann gibt es gemäß der Theorie der Lie-Algebren eine solgenannte Cartan-Zerlegung

 , wobei
  •   eine Cartan-Unteralgebra ist, es gilt sogar  ,
  •   ein sogenanntes Wurzelsystem in der  -linearen Hülle   von  ,
  •   für jedes   ein eindimensionaler Unterraum,   ist ein Vektor aus  
  •   für alle  ,
  •   für alle  .

  ist mit der Einschränkung der Killing-Form ein euklidischer Raum, in dem man daher Längen und Winkel zwischen Vektoren messen kann, und die Wurzelsystem-Eigenschaften führen zu starken Restriktionen für die relativen Längen der Vektoren aus   und den Winkeln zwischen ihnen. Wie bei jedem Wurzelsystem kann man eine Teilmenge   von sogenannten fundamentalen Wurzeln auswählen, so dass

  •   eine Vektorraumbasis von   ist
  • alle Koeffizienten in der Entwicklung eines Vektors   nach der Basis   dasselbe Vorzeichen haben
  •   für alle  .

Dynkin-DiagrammeBearbeiten

 
Die Dynkin-Diagramme sind den Wurzelsystemen zugeordnete Graphen.

Aus dem gerade vorgestellten Wurzelsystem konstruiert man das sogenannte Dynkin-Diagramm, das ist der Graph mit der Knotenmenge   und   Kanten zwischen  . Die Eigenschaften eines Wurzelsystems sind derart restriktiv, dass es nur folgende in nebenstehender Übersicht wiedergegebene Möglichkeiten, sogenannte Typen, gibt:

 .

Dabei steht ein "<" bzw. ">" über den Kanten zwischen zwei fundamentalen Wurzeln für eine entsprechende Größenrelation der Längen der fundamentalen Wurzeln.

Trotz der vielen Wahlmöglichkeiten in der grob umrissenden Konstruktion stellt dies eine vollständige Klassifikation aller einfachen, endlichdimensionalen  -Lie-Algebren dar. Zwei einfache, endlichdimensionale  -Lie-Algebren sind genau dann isomorph, wenn sie dasselbe Dynkin-Diagramm haben, und zu jedem der aufgelisteten Dynkin-Diagramme gibt es eine einfache, endlichdimensionale  -Lie-Algebra. Diese Klassifikation geht im Wesentlichen auf Élie Cartan und Wilhelm Killing zurück. Oft bezeichnet man eine einfache, endlichdimensionale  -Lie-Algebra einfach durch ihren Typ.[3]

Chevalley-GruppenBearbeiten

Chevalley-BasisBearbeiten

Wir gehen von einer einfachen, endlichdimensionalen  -Lie-Algebra aus   und verwenden die oben eingeführten Begriffe. Für zwei Wurzeln   sei

  •  , dadurch werden die fundamentalen Wurzeln geeignet "normiert".
  •  , diese Zahlen sind stets aus  .
  •  .

Die   bilden natürlich ebenfalls eine Basis der Cartan-Unteralgebra  , weshalb   eine Basis von   ist.

Claude Chevalley hat gezeigt, dass man die Wahlen so treffen kann, dass eine heute sogenannte Chevalley-Basis vorliegt, das heißt, dass Folgendes gilt:[4]

  •   für alle  
  •   für alle  
  •   für alle   mit  
  •   für alle   mit  , wobei  .

Bei den Vorzeichen der   bleiben gewisse Wahlmöglichkeiten.

Chevalley-Gruppen über ℂBearbeiten

Die oben genannten Relationen zwischen den Elementen einer Chevalley-Basis zeigen, dass für jedes   die Derivation

 

ein nilpotentes Element der Algebra der linearen Operatoren auf   ist, das heißt   für ein hinreichend großes  . Das gilt dann auch für jedes skalare Vielfache  , das heißt für jedes   ist

 

eine endliche Summe. Daher funktioniert der übliche Beweis, wonach die Exponentialfunktion einer Derivation ein Automorphismus ist. Die von den Automorphismen   erzeugte Gruppe heißt Chevalley-Gruppe und wird mit   bezeichnet. Dabei kann die Lie-Algebra   auch durch ihren Typ ersetzt werden, das heißt man schreibt  . Die Operation von   auf den Elementen einer Chevalley-Basis erhält man ebenfalls aus den oben genannten Relationen:[5]

  •  
  •  
  •  
  •     für von r linear unabhängige  
  •  ,

wobei   dadurch bestimmt ist, dass alle   zu   gehören für   und

 

Chevalley-Gruppen über KBearbeiten

Eine weitere einfache Folgerung aus obigen Relationen zwischen den Elementen einer Chevalley-Basis ist, dass die  -lineare Hülle   bzgl. der Lie-Klammer abgeschlossen ist und daher einen Lie-Ring bildet, das heißt   erfüllt alle Axiome einer Lie-Algebra bis auf diejenigen, die die skalare Multiplikation betreffen. Ist nun   ein beliebiger Körper, so kann man das Tensorprodukt   bilden, denn jeder Körper ist in natürlicher Weise ein ℤ-Modul. Jedes Element von   hat die Form

 ,

wobei   das Einselement in   sei und die   Elemente aus   seien. Durch die Festlegung

 

erhalten wir eine  -Lie-Algebra  . Die Menge   ist eine Basis von   und es gelten nach Definition der Lie-Klammer auf   dieselben Relationen wie zwischen den Elementen der Chevalley-Basis, wobei jede ganze Zahl  , die in den Relationen vorkommt, als   zu verstehen ist, das heißt jede ganze Zahl wird wie üblich auf ein Element des Primkörpers von   abgebildet, das wird im Folgenden nicht mehr erwähnt.

Ganz analog kann man nun wie folgt Operatoren   auf   erklären. Jedes   hat bzgl. der Chevalley-Basis eine Matrix-Darstellung mit Matrixelementen  , wie man an obigen Formeln für die Operation der   auf den Basiselementen ablesen kann. Für jedes   definiert dann die Matrix mit den entsprechenden Matrixelementen   einen mit   bezeichneten Automorphismus auf  . Dieser operiert wie folgt auf den Basiselementen:

  •  
  •  
  •  
  •     für von r linear unabhängige  
  •     mit demselben   wie in obigen Formeln für  

Beachte, dass alle Koeffizienten in diesen Gleichungen ganzzahlig sind.

Die von den Automorphismen   erzeugte Gruppe heißt die Chevalley-Gruppe über   und wird mit   bezeichnet.

 

Die Gruppen   sind bis auf Isomorphie eindeutig durch die Isomorphieklassen der einfachen, endlichdimensionalen  -Lie-Algebra   und des Körpers   bestimmt.[6] Ist   endlich, so ist   bereits durch die Anzahl seiner Elemente, die eine Primzahlpotenz   sein muss, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und man schreibt daher   statt  . Statt   genügt die Angabe des Typs, und man schreibt daher  . Für diese Gruppen gilt folgender Satz:[7]

Ist   eine einfache, endlich-dimensionale  -Lie-Algebra und   ein Körper, so ist die Chevalley-Gruppe   einfach bis auf die Ausnahmen  .

Damit sind die ersten neun Serien einfacher Gruppen obiger tabellarischer Übersicht erklärt.

Getwistete Chevalley-GruppenBearbeiten

Automorphismen auf Dynkin-DiagrammenBearbeiten

 
Nicht-triviale Automorphismen auf Dynkin-Diagrammen.

Die getwisteten Chevalley-Gruppen sind Untergruppen der Chevalley-Gruppen, die aus gewissen Fixpunkt-Mengen eines geeigneten Automorphismus   der Chevalley-Gruppe gebildet werden. Ein solcher Automorphismus entsteht aus einem Graphenautomorphismus des Dynkin-Diagramms. Daher verschaffen wir uns zunächst einen Überblick über die möglichen Graphenautomorphismen. Auf den Dynkin-Diagrammen   hat man für   den nicht-trivialen Automorphismus, der den Graphen am horizontalen Zentrum spiegelt, wie in nebenstehender Zeichnung angedeutet.

Auf den Dynkin-Diagrammen   mit   gibt es keine nicht-trivialen Graphenautomorphismen, denn jeder Graphenautomorphismus muss den einzigen Knoten mit nur einer Kante festlassen und ebenso die Abstände zu diesem Knoten. Für   gilt das natürlich nicht und hier gibt es einen nicht-trivialen Automorphismus, wie in der nebenstehenden Zeichnung angegeben. Dasselbe gilt für  ,   ist nicht aufgeführt, da dieses mit   zusammenfällt.

Auf   hat man die Vertauschung der beiden rechten Enden als Graphenautomorphismus. Eine Besonderheit ergibt sich bei  , hier ist die angegebene Rotation ebenfalls ein nicht-trivialer Graphenautomorphismus.

In den  -Diagrammen gibt es genau einen Knoten mit drei Kanten, der daher unter jedem Graphenautomorphismus fix bleiben muss. Das bereits oben bei   gegebene Abstandsargument zeigt, dass   und   keine nicht-trivialen Graphenautomorphismen haben können,   hat den in der Zeichnung angedeuteten Graphenautomorphismus. Für   und   liegt der Graphenautomorphismus auf der Hand.

Man beachte, dass fast alle angegebenen Graphenautomorphismen die Ordnung 2 haben. Die einzige Ausnahme ist das Dynkin-Diagramm  , auf dem es einen Graphenautomorphismus der Ordnung 2 und einen der Ordnung 3 gibt.

Automorphismen auf den Chevalley-GruppenBearbeiten

Ist nun   ein Graphenautomorphismus auf einem Dynkin-Diagramm, so kann man tatsächlich einen Automorphismus   der zugehörigen Chevalley-Gruppe finden, der   für jedes   auf   abbildet, wobei der Körper   im Falle von   und   vollkommen und von der Charakteristik 2 und im Falle von   vollkommen und von der Charakteristik 3 sein muss.[8]

Damit der Gruppenautomorphismus   dieselbe Ordnung wie der Graphenautomorphismus   hat, muss man noch gewisse Körperautomorphismen ins Spiel bringen, was im Falle der uns interessierenden endlichen Körper zu weiteren Einschränkungen führt, die sich insgesamt wie folgt darstellen, wobei   stets für eine Primzahlpotenz steht:

  • Typ  :   muss ein Quadrat sein, also  
  • Typ   (mit  ):   muss eine dritte Potenz sein, also  
  • Typ  :     mit  
  • Typ  :     mit  

Konstruktion der getwisteten Chevalley-GruppenBearbeiten

Für endliche Körper   mit   Elementen,   eine Primzahlpotenz, gibt es also unter den oben genannten Einschränkungen zum nicht-trivialen Graphenautomorphismus   des Dynkin-Diagramms einen entsprechenden Gruppenautomorphismus   gleicher Ordnung auf der zugehörigen Chevalley-Gruppe, der jede Menge   nach   abbildet. Mit diesem Gruppenautomorphismus wird nun wie folgt eine Untergruppe gebildet, wobei man beachte, dass die Gesamtkonstruktion nach wie vor von einer einfachen, endlichdimensionalen  -Lie-Algebra   ausgeht und daher alle oben eingeführten Begriffe zur Verfügung stehen. Man definiert

 , die positiven Wurzeln
 , die negativen Wurzeln
 , die von   erzeugte Untergruppe von  .
 
 , die Menge der  -Fixpunkte einer Teilmenge  .
 , die von   erzeugte Untergruppe von  .

Da   definitionsgemäß von den   erzeugt wird, ist   und natürlich   und   und daher  . Hier gilt im Allgemeinen keine Gleichheit, daher rührt die etwas kompliziert anmutende Definition.

Die Gruppen   heißen getwistete Chevalley-Gruppen. Da   nur die Werte 2 und 3 annehmen kann und   nur von bestimmten Typen mit den oben genannten Einschränkungen sein kann, erhält man die restlichen Gruppen   obiger tabellarischer Übersicht, denn es gilt folgender Satz:[9]

Die getwisteten Chevalley-Gruppen sind einfach mit Ausnahme von

 , eine auflösbare Gruppe der Ordnung 72
 , eine auflösbare Gruppe der Ordnung 20
 , eine 1.512-elementige Gruppe mit einer zu   isomorphen Kommutatorgruppe von Index 3
 , eine 35.942.400-elementige Gruppe mit einer Kommutatorgruppe vom Index 2.

Die Tits-GruppeBearbeiten

Die getwisteten Chevalley-Gruppen   sind alle einfach bis auf die Gruppe   mit   Einfach ist aber deren Kommutatorgruppe   die 17.971.200 Elemente hat und zu keiner der anderen bisher aufgeführten Gruppen isomorph ist. Man nennt sie nach Jacques Tits die Tits-Gruppe.[10] Sie gehört zur Familie der  -Gruppen von Kommutatorgruppen der ersten Familie, deren Mitglieder für   als einfache nicht-abelsche Gruppen mit ihren Kommutatorgruppen übereinstimmen. Die zweite Familie besteht also ausschließlich aus einfachen Gruppen, die alle bis auf die Gruppe   Gruppen vom Lie-Typ sind. Definitionsgemäß wird eine endliche einfache Gruppe sporadisch genannt, wenn sie nicht einer unendlichen Familie von endlichen einfachen Gruppen zugeordnet werden kann. Somit ist die Tits-Gruppe keine sporadische Gruppe – auch wenn sie keine Gruppe vom Lie-Typ ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Michael Aschbacher: Finite Group Theory. Cambridge studies in advanced mathematics (2000), ISBN 0-521-78145-0, Tabelle 16.1.
  2. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 13: The Twisted Simple Groups.
  3. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/New York 1972, ISBN 0-387-90053-5 für eine abgeschlossene Darstellung dieser Theorie.
  4. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Theorem 4.2.1.
  5. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 4.3.
  6. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Satz 4.4.3.
  7. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Theorem 11.1.2.
  8. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Sätze 12.2.3, 12.3.3 und 12.4.1.
  9. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Theorem 14.4.1.
  10. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Bemerkung zu Theorem 14.4.1.