Standard-Borel-Raum

In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Standard-Borel-Räume eine sehr allgemeine Klasse von Maßräumen.

DefinitionBearbeiten

Ein Messraum   ist ein Standard-Borel-Raum, wenn er isomorph zu einem polnischen Raum mit seiner borelschen σ-Algebra ist.

KlassifikationBearbeiten

Standard-Borel-Räume werden durch ihre Kardinalität klassifiziert. Insbesondere ist jeder überabzählbare Standard-Borel-Raum isomorph zu den reellen Zahlen mit ihrer borelschen σ-Algebra.

EigenschaftenBearbeiten

  • Wenn es auf einem Raum   zwei σ-Algebren   gibt, für die   Standard-Borel-Räume sind, dann ist  .
  • Zu jeder bijektiven messbaren Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist auch die Umkehrabbildung messbar.
  • Eine Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist genau dann messbar, wenn ihr Graph eine messbare Teilmenge des Produktraumes ist.
  • Die Vervollständigung eines mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß versehenen Standard-Borel-Raumes ist ein Standard-Wahrscheinlichkeitsraum.

LiteraturBearbeiten

  • Alexander S. Kechris, "Classical descriptive set theory", Springer-Verlag (1995).

WeblinksBearbeiten