Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus

trigonometrische Funktionen
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Die Funktionen Kosekans hyperbolicus (csch) und Sekans hyperbolicus (sech) sind Hyperbelfunktionen. Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

Sekans hyperbolicus (blau) und Kosekans hyperbolicus (rot)

DefinitionenBearbeiten

 

EigenschaftenBearbeiten

Sekans hyperbolicus Kosekans hyperbolicus
Definitionsbereich    
Wertebereich    
Periodizität keine keine
Monotonie   streng monoton steigend
  streng monoton fallend
  streng monoton fallend
  streng monoton fallend
Symmetrien Spiegelsymmetrie zur y-Achse Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Achsensymmetrie zu  
Asymptote   für     für  
Nullstellen keine keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine  
Extrema Maximum bei   keine
Wendepunkte   keine

UmkehrfunktionenBearbeiten

Die Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen:

 

AbleitungenBearbeiten

 

IntegraleBearbeiten

Integrale der HyperbelfunktionenBearbeiten

 

Die durch den Koordinatenursprung verlaufende Stammfunktion des Sekans hyperbolicus wird Gudermannfunktion genannt.

Bestimmte IntegraleBearbeiten

Für folgende Verallgemeinerung ist diese Formel in Bezug auf alle positiven Zahlen w gültig:

 

Mit dem griechischen Buchstaben β wird die Eulersche Betafunktion zum Ausdruck gebracht.

Integrale von Produkten aus Cosekans hyperbolicus und PolynomfunktionenBearbeiten

Wenn der Cosekans hyperbolicus mit ganzrationalen Polynomfunktionen multipliziert werden, dann entstehen meist Funktionen mit polylogarithmischen Integralen:

Für folgende Funktion ist die Ursprungsstammfunktion dilogarithmisch beschaffen:

 

Deswegen gilt für folgendes bestimmtes Integral:

 
 
 

Dies ist somit eine auf dem Satz von Fubini basierende Beweisführung für das sogenannte Basler Problem und findet in der Theorie über die Riemannsche Zeta-Funktion Anwendung.

Integrale der Wurzeln des Sekans hyperbolicusBearbeiten

Die Gudermannfunktion als Ursprungsstammfunktion des Sekans hyperbolicus ist eine elementare Funktion:

 
 

Die Ursprungsstammfunktion von der Quadratwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein lemniskatisches Integral:

 

Die soeben gezeigte Funktion zählt zu den nicht elementaren Funktionen.

Das Integral von Null bis Unendlich von der Quadratwurzel des Sekans Hyperbolicus nimmt exakt den Wert der lemniskatischen Konstante an.

Und die Ursprungsstammfunktion von der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein äquianharmonisches Integral:

 

Auch die Ursprungsstammfunktion für das Quadrat der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist äquianharmonisch:

 

Sowohl die lemniskatischen als auch die äquianharmonischen Integrale zählen zu den sogenannten elliptischen Integralen.

ReihenentwicklungenBearbeiten

 

Komplexes ArgumentBearbeiten

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten